Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

5.f (x, y)d f (x, y)d .

§ 2. Вычисление двойного интеграла 2.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Двойной интеграл является пределом интегральной суммы, который не

зависит ни от способа разбиения области интегрирования на элементарные, ни от выбора точки внутри каждой из них. Поэтому область можно разбить на простейшие области прямыми, параллельными осям координат. В этом случае эти области k , кроме пограничных, являются прямоугольниками со сторона-

ми xk è yk (рис. 5.2), а площадь равна k xk yk .

При неограниченном увеличении числа разбиений, то есть при n , элемент площади будет иметь вид d dxdy , а двойной интеграл в декартовых

координатах записывают в виде f (x, y)d f (x, y)dxdy .

y

yk k

xk

Рис. 5.2

2.2. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области

Для вычисления двойного интеграла имеется двумерный аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл

Предположим, что функция f (x, y) непрерывна в этом прямоугольнике и

принимает в нем неотрицательные значения, тогда двойной интеграл равен объему тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью z f (x, y) , с бо-

76

z

z f (x, y)

x

b

x

Рис. 5.3

В теории определенного интеграла известна формула, позволяющая вычислять объем тела по известной площади поперечного сечения:

b

V S(x)dx ,

a

где S (x) − площадь поперечного сечения данного тела, проходящего через точку x (a x b) и перпендикулярного к оси 0x . Так как рассматриваемое сече-

ние является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции z f (x, y) , где x фиксировано, c y d , то будем иметь

c

Из этих трёх равенств (5.6 – 5.8) следует, что

Итак, вычисление двойного интеграла свелось к вычислению двух определённых интегралов; при вычислении внутреннего интеграла (записанного в квадратных скобках) переменная x считается постоянной.

Правая часть формулы (5.9) называется повторным интегралом и обозначается так:

77

Аналогично можно показать, что

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

2.3. Вычисление двойного интеграла по произвольной области

Определение. Область называют правильной областью (стандартной),

если ее граница состоит из графиков двух непрерывных функций y y1(x) и y y2 (x) , определенных на отрезке [a,b] и таких, что y1(x) y2 (x) и из отрезков прямых x a и x b (рис. 5.4).

y

y y1(x)

y y2 (x)

Рис. 5.4

Теорема. Если функция z f (x, y) непрерывна в области , то

Поясним смысл этой формулы. Для того, чтобы вычислить двойной интеграл в декартовых координатах f (x, y)d f (x, y)dxdy , нужно сначала вы-

y (x)

Этот интеграл называется внутренним интегралом ( y меняется от линии y1 (x) до линии y2 (x) , поэтому результат вычисления этого внутреннего интеграла

является функцией переменной x ). Интегрируя теперь эту функцию (вычисляем внешний интеграл) в пределах от a до b , получим значение двойного интеграла.

78

Пример. Вычислить двойной интеграл x2 ydxdy , где – область, огра-

ниченная линиями y x2 , x y2 .

Решение. Изобразим область в системе координат (рис. 5.5). y

Рис. 5.5

Данные линии пересекаются в двух точках: 0(0,0) ,M(1, 1) .

Область является правильной. В этом случае получаем следующие пределы интегрирования:

Двойные и повторные интегралы находят свое применение во многих разделахматематики, имеющихнепосредственныеэкономическиеприложения.

79

Вшкольном курсе математики мы уже встречались с понятием уравнения: алгебраические, логарифмические, тригонометрические уравнения и др.

На основании условий задачи составляли соотношение, связывающее неизвестную величину с данными величинами. Такое соотношение называли уравнением. Решая его, находили неизвестную величину.

Вматематическом анализе при решении многих задач встречаются соотношения, в которые входят неизвестная функция и ее производные или дифференциалы. Задача состоит в том, чтобы найти эту неизвестную функцию. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Примеры.

1. y 2xy sin x.

2.y 3y 5x3.

Если искомая функция y является функцией одной переменной x , то

дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то оно называется уравнением в частных производных.

Мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

80