Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Пример 1. Решить ДУ: x3 (1 y2 ) x2 ydy 0 .

Решение. Здесь (1 y2 ) и x2 – лишние функции. Разделим обе части на их произведение. Получим ДУ с разделёнными переменными:

x ln x ln y y C , ln xy x y C.

Получили общий интеграл. Здесь уравнение xy 0 (произведение лишних функций), имеет решения: x 0 , y 0. Они не входят в общий интеграл, поэтому являются особыми решениями. Подставляем в общий интеграл на-

чальные условия: ln 2 12 2 12 C , C 32 . Таким образом, частным интегралом является функция ln xy x y 32 .

4.2. Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией n го порядка однородности, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на n , т. е. выполняется равенство

называется однородным, если функция f (x, y) является функцией однородной нулевого порядка.

Покажем, что ДУ (6.12) можно записать в виде y y .

x

86

Однородное ДУ (6.12) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки):

xy u или, что то же самое,

где P(x, y) , Q(x, y) функции однородныеодинакового порядка однородности.

Переписав уравнение (6.15) в виде dy P(x, y) , получаем ДУ вида (6.12). dx Q(x, y)

При интегрировании уравнений вида (6.15) можно непосредственно сделать подстановку (6.13) – (6.14) и привести уравнение к ДУ с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение 2xy x2 y2 .

87

4.3. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Особенностью линейного ДУ является то, что искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени.

Рассмотрим метод решения линейных уравнений (метод Бернулли), который заключается в том, что решение уравнения (6.17) ищется в виде произведения двух функций u u(x), v v(x) , т. е.

Так как y u v uv , то подстановка этих выражений в уравнение (6.17) приводят его к виду

Подберем функцию v v(x) так, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, т. е. решим уравнение

Уравнение (6.20) с разделяющимися переменными, решая которое находим функцию v(x) :

88

Подставляя найденную функцию (6.21) в (6.22), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Окончательно получаем общее решение данного ДУ:

Окончательно записываем общее решение данного уравнения: y uv ex2 С e x2 , y 1 С e x2 .

ПРИЛОЖЕНИЕ § 5. Метод вариации произвольной постоянной

Сноваобратимсяклинейномудифференциальномууравнениюпервогопорядка:

называется однородным дифференциальным уравнением или дифференциаль-

ным уравнением без правой части.

Общее решение уравнения (6.24) можно найти методом вариации про-

извольной постоянной, который называется также методом Лагранжа.

Решаем сначала однородное дифференциальное уравнение (6.25),

89

Получили общее решение однородного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (6.24) будем

искать в таком же виде, что и (6.26), но для этого постоянную C в полученном решении (6.26) заменяем функцией C(x) , т. е. полагаем C C(x) . Таким образом,

задача состоит в том, чтобы найти такую функцию C(x) , чтобы функция

Подставляя эту функцию в равенство (6.27), получим общее решение данного уравнения (6.24):

называется уравнением Бернулли.

Если n 1, уравнение (6.28) является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

dyy [ f (x) p(x)]dx.

Если n 0 , то уравнение приводится к линейному дифференциальному уравнению (6.24). Уравнения Бернулли можно решать заменой: y uv .

90