1. m1 = m2
u1 = v2 и u2 = v1 – обмен скоростями.
(a) v2 = 0; m2 >> m1: u2 ≈ 0, u1 ≈ -v1.
2.Удар тела массой m1 о неподвижную плиту массой m2 (m2 >> m1, v2 = 0)
После удара u2 ≈ 0; u1 ≈ –v1.
ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Свободные затухающие колебания
I. Вывод дифференциального уравнения
Колебания можно подразделить на механические и электромагнитные.
Механические колебания
Пружинный маятник
k
m
x |
|||
O |
x |
||
Силы
3.Сила упругости Fупр = −kx .
4. Сила сопротивления Fсопр = −rv ,
где r – коэффициент сопротивления.
Уравнение динамики
max = Fупр + Fсопр ;
m |
d 2 x |
= −kx − r |
dx |
; |
||||||
dt |
2 |
dt |
||||||||
d 2 x |
+ |
r dx |
+ |
kx |
= 0 . |
|||||
dt 2 |
m dt |
m |
||||||||
mk =ω02 – собственная частота колеба-
ний в системе без затухания;
mr = 2β – коэффициент затухания.
x ′′+2βx ′+ω02 x = 0 .
Электромагнитные колебания
Электромагнитный контур
1 2 C
R
L
Запишем обобщённый закон Ома для участка цепи 1–R–L–C–2:
IR = (ϕ1 −ϕ2 )−E ,
E = E самоинд = −L dIdt ;
ϕ1 −ϕ2 = qCC ;
I = − dqdtC
Знак «–» объясняется тем, что ток в цепи возникает за счёт убыли заряда на конденсаторе.
− |
dq |
C |
R = |
q |
C |
+ L |
d 2 q |
C |
, |
|||||||||||
C |
dt 2 |
|||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||
d 2 q |
+ |
R dq |
+ |
q |
= 0 ; |
|||||||||||||||
dt 2 |
L |
dt |
LC |
|||||||||||||||||
1 |
= ω02 , |
R |
= 2β . |
|||||||||||||||||
LC |
L |
|||||||||||||||||||
q′′ +2βq′ +ω02 q = 0 .
II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = 0
– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:
x = eλt , тогда x′ = λ eλt , x′′ = λ2 eλt . eλt (λ2 + 2βλ +ω02 )= 0 ;
eλt ≠ 0 → λ2 + 2βλ +ω02 = 0
– характеристическое уравнение. Его корни:
λ1,2 = −β ± β 2 −ω02 .
Рассмотрим 4 случая: β = 0, β < ω0, β > ω0, β = ω0.
1)0 ≤ β < ω0
Всистеме имеется слабое затухание (малые потери энергии).
Пусть ω02 − β 2 = ω12 , здесь ω1 – собственная частота колебаний в системе с затуха-
нием. Тогда
λ1,2 |
= −β ± iω1 , |
|||||||
где i = −1 – мнимая единица; |
||||||||
x = eλt , |
. |
|||||||
x = e−βt (a1eiω1t + a2e−iω1t ) |
||||||||
Известно, что |
||||||||
eiϕ + e−iϕ |
eiϕ − e−iϕ |
= sinϕ . |
||||||
2 |
= cosϕ , |
2i |
||||||
Отсюда |
||||||||
. |
||||||||
x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ) |
||||||||
а) β = 0 |
||||||||
Потери отсутствуют. |
||||||||
x = A cos(ω0t +ϕ0 ), при β = 0 ω1 → ω0 . |
||||||||
Гармонические колебания |
||||||||
x |
А – амплитуда. |
|||||||
T0 |
||||||||
A
t
ϕ = (ω0t +ϕ0 ) – фаза (определённое состояние системы в данный времени, φ0 – началь-
ная фаза (зависит от выбора начала отсчёта времени).
φ |
Собственная частота колебаний |
||
φ0 |
ω0 |
= 2π , |
|
T0 |
|||
Т0 – период колебаний. |
|||
t |
|||
б) 0 ≤ β < ω0 |
|||
Малые потери энергии |
|||
x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ), |
|||
A e−βt – амплитуда затухающих колебаний. |
|||
Амплитуда |
cos(ω1t + φ0) |
||
A |
A e-βt |
||
0 |
t |
0 |
t |
x |
|||
A1(0)
A1(τ) = A(0)/e
t |
|||||||||
τ |
|||||||||
Здесь A = A e−βτ |
– амплитуда затухающих колебаний, ω |
1 |
= |
ω2 |
− β 2 |
– собствен- |
|||
1 |
0 |
||||||||
ная частота затухающих колебаний, T = |
2π = |
2π |
, T1 > T0; τ – время релаксации |
||||||
1 |
ω1 |
ω02 − β 2 |
|||||||
(затухания) – время, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.
A1e(0) = A1 (τ ), A1 = A e−βτ = A e−1 → βτ = 1;
τ = β1 .
N – число колебаний, по истечении которых амплитуда спадает в е раз,
N = |
τ |
= |
1 |
. |
||
T |
β T |
|||||
1 |
1 |
|||||
Логарифмический декремент затухания |
||||||||||||||
A (t) |
A e−βt |
|||||||||||||
β T |
1 |
|||||||||||||
θ = ln |
1 |
= ln |
= ln(e |
1 |
)= β T1 , |
θ = β T1 |
= |
. |
||||||
A1 |
(t + T1 ) |
A e |
−β (t+T1 ) |
N |
||||||||||
Добротность контура
Q = π N .
При малых β:
Q = 2π ∆WW ,
здесь W – запас энергии в контуре, ∆W – потери энергии за одно колебание. 2) β > ω0
Сильное затухание в системе
λ1 = −(β + |
β 2 −ω02 )= −κ1 < 0 , |
||
λ2 = −(β − |
β 2 −ω02 )= −κ2 < 0 , |
||
x = a1 e−κ1t + a2 e−κ2t |
. |
||
x |
x |
||
0 t 0 t
Апериодический процесс – колебаний нет. 3) β12 = ω0, λ1,2 = –β
x= (a1 + a2t) e−βt
–апериодическое решение, колебаний нет.
§ 2. Вынужденные колебания
I. Вывод дифференциального уравнения
Механическая система
k |
m |
Ω |
x |
||
Силы:
Fупр = −kx ,
Fсопр = −rv ,
Fвынуждающая = F0 cos(Ωt).
m d 2 x = −kx − r dx + F |
cos(Ωt); |
||
dt2 |
dt |
0 |
|
x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt).
2β = mr , ω02 = mk , f0 = Fm2 .
Электромагнитная система
1+ –2
C
R
L
Закон Ома:
IR = (ϕ1 −ϕ2 )− L dIdt +ε0 cos(Ωt), I = − dqdtC ,
ϕ1 −ϕ2 = qCC ;
d 2 q |
+ 2β dq |
+ω02 q = f0 cos(Ωt); |
|||||||
dt 2 |
dt |
||||||||
2β |
= |
R |
, ω02 |
= |
1 |
, f0 |
= − |
ε0 |
. |
L |
LC |
||||||||
L |
|||||||||
q′′ + 2βq′ +ω 02q = f0 cos(Ωt).