dξ |
1 |
dξ |
||||||||||||||||||||
dx |
= |
f ′ |
− |
v |
= f |
′ |
1 |
|||||||||||||||
x |
dt |
|||||||||||||||||||||
ξ(x,t )= |
||||||||||||||||||||||
f t − |
; |
d 2ξ |
1 |
d 2ξ |
||||||||||||||||||
v |
= f ′′ 1 |
|||||||||||||||||||||
= f ′′ |
dt2 |
|||||||||||||||||||||
dx 2 |
v2 |
|||||||||||||||||||||
d 2ξ |
1 |
d 2ξ |
||||||||||||||||||||
dx 2 |
= |
dt 2 |
– волновое уравнение. |
|||||||||||||||||||
v2 |
||||||||||||||||||||||
Решение данного уравнения в общем виде можно записать:
ξ(x,t )= |
x |
x |
|||||||||
f |
1 |
t − |
+ f |
2 |
t + |
. |
|||||
v |
v |
||||||||||
прямая волна |
обратная волна |
||||||||||
ГЛАВА V. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
§ 1. Преобразования Галилея
y y'
y
O' B
A
O
0
0
y y'
vt
(–vt')
O'
O A
Имеем две системы отсчёта; ось х и ось х′ совпадают.
x', y' |
Необходимо ввести эталон длины и эталон време- |
||
x' ни (время – свойство физических процессов иметь |
|||
x |
определённую длительность и следовать друг за |
||
x |
другом в определённой очерёдности). |
||
x1/v0 |
u – скорость запускающего сигнала, v – |
||
x2/u |
|||
x1 |
x2 |
x скорость движущейся системы отсчёта. |
|
x
v |
Когда t = 0 и t' = 0, начала координат O и O′ |
||
совпадают. Зная координаты точки в системе В, |
|||
x' |
|||
определим по каким формулам нужно найти ко- |
|||
B |
x' ординаты этой точки в системе А. |
||
x |
x |
||
От В к А |
От А к В |
||
x = x ′+ vt′ |
x ′ = x − vt |
||
y = y′ |
y′ = y |
||
z = z′ |
z′ = z |
||
t = t′ |
t′ = t |
||
В классической механике соотношения между координатами и временем в разных системах отсчёта такие, как если бы эти системы были неподвижны друг относительно друга в данный момент времени.
§ 2. Следствия из преобразований Галилея
Инварианты преобразований – физические величины, численное значение которых не изменяется при переходе из одной системы отсчёта в другую (например, масса).
I. Абсолютность одновременности
Так как t' = t, то события, одновременные в одной системе отсчёта, будут таковыми и в другой системе отсчёта. Если t1' = t2', то t1 = t2.
II. Инвариантность длины отрезка
y |
y' |
v |
l′ = (x1′ − x 2′ )2 + (y1′ − y2′ )2 = |
||
y2 |
y1' |
= [(x 2 − x1 )− v (t2 −t1 )]2 + (y2 − y1 )2 = {t1 = t2 }= l. |
|||
y1 |
l' |
||||
y2' |
|||||
l = l′ |
– длина инвариантна. |
||||
x1' |
x2' |
x' |
|||
x |
|||||
x1 |
x2 |
||||
III. Инвариантность интервала времени
∆t′ = t2′ −t1′ = t2 −t1 = ∆t ;
∆t = ∆t′ – интервал времени инвариантен.
IV. Классический закон сложения скоростей
y y'
u' v = const
B |
x' |
|
A |
x |
Пусть тело движется со скоростью u' относительно системы B. Тогда его скорость относительно системы A будет равна
u = u'+v .
V. Инвариантность ускорения
a = ddtu = dtd (u'+v)= {dt = dt′}= ddut′' + ddtv = {v = const}= ddut′' = a' ; a = a' .
VI. Инвариантность массы и силы
В классической механике постулируется:
m = m′, F = F′ .
Если в системе отсчёта А для трёх физических величин m, a, F выполняется соотношение F = ma , то в силу того, что m = m′, a = a' , F = F' , в системе отсчёта В между этими величинами будет существовать соотношение F'= ma' .
Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчёта в механическом смысле эквивалентны друг другу. Это означает, что никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчёта, нельзя определить движется ли система отсчёта или она покоится.
ГЛАВА VI. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Механика |
Электрическое |
II закон Ньютона инвариантен относи- |
(электромагнитное) поле |
тельно преобразований Галилея. |
Уравнения, описывающие электромагнит- |
ное поле, не инвариантны относительно |
|
преобразований Галилея. |
§ 1. Преобразования Лоренца
Постулаты теории относительности
1.Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны друг другу, т. е. все явления природы протекают в них одинаковым образом, по одним и тем же законам.
2.Скорость света не зависит ни от скорости источника излучения, ни от скорости наблюдателя, т. е. она постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.
Вывод преобразований Лоренца
1)Система А условно неподвижна. Система В движется со скоростью v. Оси х и x' на одной линии и совпадают с направлением вектора v. Пространство изотропно и однородно, время однородно.
Снабжаем системы эталоном длины и эталоном времени, а также запускающим сигналом для синхронизации часов.
2)Момент времени, когда начала отсчёта обеих систем совпадают, примем за начало отсчёта времени в этих системах, т. е. когда O и O′ совпадают, тогда t = 0, t' = 0.
3)За основу новых преобразований возьмём преобразования Галилея:
x =α(x ′ + vt′), |
(1) |
x ′ =α′(x − vt ). |
4)Из первого принципа теории относительности следует, что α = α', так как если переход из системы А в систему В будет протекать по другим законам, нежели обратный переход, то системы не будут эквивалентны друг другу.
5)Когда начала отсчёта обеих систем совпадут, из этой точки вдоль оси х пошлём световой импульс и запишем закон его распространения в обеих системах:
y |
y' |
x = ct, |
(2) |
||||
v |
′ |
′ |
|||||
x |
= ct ; |
||||||
c |
Сравни с классической механикой: |
||||||
B |
x' |
x = ct, |
|||||
A |
x' |
(c − v)t. |
|||||
x |
x |
x ′ = |
|||||
6)Так как наблюдатели А и В следят за одним и тем же объектом, то координаты этого объекта должны быть связаны между собой формулами преобразований. Подставим (2) в (1):
ct =α(ct′+ vt′),ct′ =α(ct − vt).
Помножим верхнее уравнение на нижнее:
c2tt′ =α2 (c2 − v2 )tt′,
α = |
1 |
. |
|||||
1− v2 |
c2 |
||||||
Тогда |
|||||||
x |
′ |
= |
x − vt |
. |
|||
1− v2 |
c2 |
||||||
7) Найдём преобразование для времени. Для этого исключим из (1) х′:
x |
|||
α |
|||
(из α = |
1 |
||
1− v2 |
|||
=αx −αvt + vt′ vt′ = |
x |
−αx +αvt |
vt′ = |
1 |
||||||||||
α x |
||||||||||||||
α |
α |
2 |
||||||||||||
c2 ). Получим: |
||||||||||||||
xv |
||||||||||||||
xv2 |
t′ = |
t − c2 |
||||||||||||
vt′ =α vt − |
. |
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
c |
1− v |
c |
||||||||||||
1 |
v2 |
|||||||
−1 |
+ vt |
; |
−1 = − |
2 |
||||
α |
2 |
c |
||||||