II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt)
– неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения можно представить в виде x = x1 + x2 ,
где х1 – общее решение однородного уравнения, х2 – частное решение неоднородного уравнения.
При β < ω0:
x1 = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ),
x
t
Графическое решение
x
τ
x2 = A cos(Ωt +ϕ0 ).
x
2π t
Ω
стационарный режим
A
t
τ– время установления колебаний
Втечение времени τ происходит затухание общего решения и остаётся только ча-
стное решение. В результате частота вынужденных колебаний будет равна частоте вынуждающей силы.
Рассмотрим частное решение:
x2 = A cos(Ωt +α0 );
x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt), |
(1) |
x2′ = −AΩ sin(Ωt +α0 ), |
(2) |
x2′′ = −AΩ2 cos(Ωt +α0 ). |
(3) |
Ищем решение при β < ω0. Из (1), (2) и (3):
− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= f0 cos(Ωt +α0 −α0 )
(прибавили и отняли α0 в аргументе косинуса в правой части уравнения). Из тригонометрии имеем:
− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= = f0 cos(Ωt +α0 ) cos(α0 )+ f0 sin(Ωt +α0 ) sin(α0 ).
Всегда можно найти такие моменты времени, когда либо cost = 0 , либо sint = 0 : |
|
− 2βΩA = f0 sin(α0 ), cost = 0; |
(4) |
(5) |
|
− AΩ2 +ω02 A = f0 cos(α0 ), sin t = 0. |
Разделим верхнее уравнение системы на нижнее:
tgα0 = − 2βΩ .
ω02 − Ω2
α0 |
Колебания отстают по фазе от вынуждающей силы |
ω0 |
Ω на α0. |
0
–π/2
–π
Возведём в квадрат уравнения (4) и (5) и сложим их:
4β 2Ω2 A2 + A2 (ω02 − Ω2 )2 = f02 (cos2 (α0 )+ sin2 (α0 ))= f02 ;
A = |
f0 |
, |
4β 2Ω2 + (ω02 − Ω2 )2 |
где A – амплитуда гармонических колебаний.
Если
здесь Ωрез
f |
0 |
|||
Ω = 0 |
A = |
|||
2 |
где-то должен быть максимум. |
|||
, то |
ω0 |
|||
Ω → ∞ |
||||
A → 0 |
||||
ddΩ [(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 ]= 0 ; 2(ω02 − Ω2 ) (− 2Ω)+ 4β 2 2Ω = 0 ;
Ω = 0Ω2рез = ω02 − 2β 2 ,
– резонансная частота.
Ωрез |
ω |
1 |
ω |
0 |
ω |
|||||||
контур без затухания |
||||||||||||
ω02 − 2β 2 |
ω02 − β 2 |
|||||||||||
. |
||||||||||||
При |
Ωрезон. = |
ω02 − 2β 2 |
A = |
f0 |
= |
f0 |
||||||
2 |
β ω02 − β 2 |
2βω1 |
||||||||||
A |
Резонансная кривая |
|||||||||||
f0 |
А |
|||||||||||
β2 > β1 |
||||||||||||
2βω1 |
β1 |
|||||||||||
f0
ω02 β2
Ωрез ω1 ω0 |
Ω |
Электрический колебательный контур
C |
||||||||||||||||||||||
L |
~ |
|||||||||||||||||||||
R |
||||||||||||||||||||||
Резонанс |
||||||||||||||||||||||
Резонанс напряжения |
Резонанс тока |
|||||||||||||||||||||
q′′+ 2βq′+ω02 q = ε0 cos(Ωt); |
I = q′ = |
d |
[A cos(Ωt |
+α0 )]= |
||||||||||||||||||
U = |
q |
, l0 = − |
ε0 |
; |
dt |
|||||||||||||||||
= −AΩ sin(Ωt +α0 ); |
||||||||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||||||
C |
||||||||||||||||||||||
l0 |
l0Ω |
|||||||||||||||||||||
q = |
(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 . |
I = (ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 . |
||||||||||||||||||||
Ωрез = ω0 |
. |
|||||||||||||||||||||
2 |
− 2β |
2 |
||||||||||||||||||||
Ωрез = |
ω0 |
. |
||||||||||||||||||||
§ 3. Волны
Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение вещества или по-
ля.
РЕЗИНОВЫЙ ШНУР
0 x
x x x
Уравнение бегущей волны |
||||||
A |
B |
x |
Пусть v – скорость распространения возмущений. |
|||
От точки А в точку В возмущение придёт через время t′ = x1 v . |
||||||
x1 |
||||||
В точке В процесс идёт с запаздыванием на время t', поэтому в |
||||||
A |
B |
x |
точке В будет происходить то же, что происходило в точке А в |
|||
момент времени t = tA − x v . |
||||||
x |
Пусть ξ – отклонение колеблющейся величины от поло- |
|||||
0 |
жения равновесия. |
|||||
ξ(t) |
В точке А ξ(0,t)= f (t); в точке В |
|||||
ξB (x,t)=ξA (0,t −t′)= f (t − x v). |
||||||
– уравнение бегущей волны, |
– уравнение обрат- |
|||||
ξ(x,t)= f (t − x |
v) |
ξ(x,t)= f (t + x v) |
||||
ной волны.
Гармоническая волна
Гармоническая волна – процесс распространения гармонических колебаний в пространстве.
x |
|||
A |
x |
||
B |
|||
источник колебаний |
|||
f(t)= A cos(ωt +ϕ0 )
ξB (x,t )= ξA (0,t −t′)= f (t − xv)= A cos[ω(t − xv)+ϕ0 ];
ξ(x,t )= A cos[ω(t − xv)+ϕ0 ]
–уравнение бегущей гармонической волны вдоль оси Oх.
ξ(x, t) |
t |
t + ∆t |
||||||||||||||
A |
ξ(x, t) |
|||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
A |
λ |
|||||||||||||||
ω (t − x v)= ωt −ω |
x |
= |
ω = |
2π |
= ωt − |
2πx |
= {λ = vT }= ωt − |
2π |
x = |
2π |
= k |
= ωt − kx ; |
||||
v |
T |
T v |
λ |
λ |
||||||||||||
ξ(x,t)= A cos(ωt − kx +ϕ0 ),
где ξ – смещение (отклонение от положения равновесия колеблющейся точки в данном месте в данное время); А – амплитуда (максимально возможное отклонение от положе-
ния равновесия); х – координата колеблющейся точки; ω – угловая частота (ω = |
2π |
); |
|||
T |
|||||
k = |
2π |
– волновое число; λ = vT – длина волны (минимальное расстояние между точ- |
|||
λ |
|||||
ками, колеблющимися одинаковым образом); (ωt − kx +ϕ0 ) – фаза волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью или фронтом волны.
Если волновая поверхность – плоскость, то волна плоская:
Если волновая поверхность – сфера, то волна
сферическая:
x
Волна называется продольной, если направление колебаний параллельно направлению распространения волны.
Волна называется поперечной, если направление
колебаний перпендикулярно направлению распростра- x нения волны.
Волновое уравнение