Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 61-66 | База студенческих работ

Формулы преобразований Лоренца

От В к А	От А к В
x ′ = x − vt	x = x	′	+ vt	′
x ′ = x − vt	x = x		+ vt
1− v2 c2	1−v2 c2
y′ = y	y = y′
z′ = z	z = z′
xv			′
xv	t′+		x v
t − c2	t′+		c2
t′ =	t =
1− v2 c2	1− v2 c2

	ЗАМЕЧАНИЯ:
1.	При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
2.	Так как в преобразованиях присутствует 1− v2 c2 , то мы можем использовать эти
	преобразования только для систем отсчёта, движущихся со скоростью v < c.

§ 2. Следствия из преобразований Лоренца

I. Замедление темпа хода движущихся часов

Ситуация 1

Поочерёдно наблюдают за периодом колебаний одного и того же маятника в сис-

темах отсчёта А и В и измеряют его.

y

y'

v

TA = TB, иначе системы А и В неравноправны.

TA

= TB

= T0

–

собственное время, т. е. время,

TB

измеренное

в

системе отсчёта,

неподвижной

B

x'

относительно данного процесса.

TA

A

x

Наблюдатель

Ситуация 2

Одновременно измеряют период колебаний маятника, находящего в системе В.

y

y'

В системе В:

v

T B =T0 ,(x

2′ = x1′);

в системе А:

B

x'

T A = t2 −t1 ,

A

x

(t2′ −t1′)+

v

(x2′ − x1′)

T A =

c2

=

1− v2

c2

= {t2′

−t1′ =T B =T0 ;x2′ = x1′}=

T0

.

(1)

1

− v2 c2

TA =

T0

.

1−v2

c2

Темп хода движущихся часов замедляется. Интервал времени ∆t – не инвариантная величина по отношению к преобразованиям Лоренца.

II. Относительность одновременности

Если в формуле (1) t2' = t1', но x2' ≠ x1' (события происходят одновременно, но в разных местах), то t2 ≠ t1 (события происходят в разные моменты времени). События,

одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой системе отсчёта.

Если t2' > t1' и x2 < x1, можно подобрать такое время, что t2 < t1.

III. Сокращение длины движущегося отрезка

Ситуация 1

Поочерёдно измеряют длину одного и того же отрезка в системах А и В.

y

y'

v

x

− x

= l

2

1

A , lA = lB = l0 ,

x2′ − x1′ = lB

иначе системы отсчёта неравноправны и нарушается

B

x2'

x'

первый постулат теории относительности.

A

x1'

x

x1

x2

Ситуация 2

Одновременно в системах отсчёта А и В измеряют длину одного и того же отрезка. y y' v Система В:

x 2′ − x1′ = l0 ;

		система А:
B	x' l0		= (x2 − x1 )− v(t2 −t1 ) = {x2 − x1 = lA ,t2 = t1}=		lA
x1' x2'
A	x		1− v2 c2		1− v2 c2
x1 x2
		lA = l0 1− v2 c2		.

Вывод: длина движущегося отрезка сокращается в направлении его движения. Длина отрезка ∆l не является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям Лоренца.

IV. Инвариантность интервала между двумя событиями

В четырёхмерном пространстве событие является функцией координат и времени f(x, y, z, ct).

ct

мировая линия точки, покоящейся в трёхмерном пространстве

x

ct	2	dS122 – интервал между двумя событиями.
	2	Время растёт.
	(x2, y2, z2, ct2)	Время растёт.
1
(x1, y1, z1, ct1)
	x (y, z)
z	В трёхмерном пространстве расстояние между двумя точ-

ками вычисляется по формуле

l

∆l2 = ∆x 2 + ∆y2 + ∆z2 .

Аналогично в четырёхмерном пространстве:

y

dS122 = c2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y2 − ∆z2 = c2 ∆t 2 − ∆l2 ;

x

′

2

= c

2

dt

′2

− dx

′2

.

d (S12 )

В силу того, что

dt′ = dt −

dx v

и dx ′ = dx − dt v ,

c2

1− v2 c2

имеем:

′

2

1

2

dx 2 v2

2

dt −2 dt dx

v +

− dx +2 dt dx v − v dt

=

2

d(S12 ) =

1− v

c

=

c2

[(c2 − v2 )dt 2 − (1− v2 c2 )dx 2

]= c2 dt 2 − dx 2 = dS122 .

c2

− v2

d (S12′ )2 = d (S12 )2 – интервал между двумя событиями является величиной инвари-

антной.

V. Закон сложения скоростей

y y'

В системе отсчёта А:

u

ux

=

dx

, uy =

dy

, uz =

dz

.

dt

v

dt

B

В системе отсчёта В:

x'

= dx

′ , u′y = dy

′ , u'z

= dz′

u′x

;

A

x

dt

dt′

dx

′+ v dt′

u′x + v

dt

′

+

dx ′ v

1+

u′x

v

dx =

= dt′

c2

= dt′

c

2

1− v2 c2

; dt =

,

1− v2 c2

ux = dx

=

u′x + v

.

dt

1

+

u′x v

c2

dy = dy′, dz = dz′ , uy = dy = dy′

1− v2 c2

;

u′x v

dt

dt′

1+

c2

uy = u′y

1− v2

c2

;

1+

u′x

v

c2

′

1− v2

c2

.

uz = uz

1+ u′x

v

c2

ПРИМЕР

y y'

Система В: u′x

= 0,u′y

= c,u′z

= 0 .

c

Система А: ux

= v,uy

= c

1− v2 c2 ,uz = 0 .

v

B

u = ux2 + uy2 + uz2 = v2 + c2 (1− v2 c2 )+ 0 = v2 + c2 − v2 = c.

x'

A	x

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: