Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 39-43 | База студенческих работ

1. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле

Если поле потенциально, то тело помещённое в данную точку пространства обладает потенциальной энергией, причём её численное значение равно работе сил поля по перемещению тела из данной точки в точку нулевого значения потенциальной энергии.

Wп (т.1)= А1поля→т. нул. пот. ,

					т. нул. пот.
					W п (т.1)= ∫(F dr)		.
					1
	Значение Wп зависит от выбора точки нулевого уровня энергии.
1	2		O (нулевой уровень энергии)
		A20				.
		A20		A12 =Wп (т.1)−Wп (т. 2)		.
	A10			δA12 =Wп (т.1)−Wп (т. 2)= −(Wп (т. 2)−Wп (т.1))= −∆Wп .

δAполя = −dW п – работа сил по перемещению тела совершается за счёт убыли по-

тенциальной энергии этого тела.

ПРИМЕР

Потенциальная энергия сжатой пружины

k	Wп = 0									Fупр = −kx .
k	Wп = 0
				конеч.		0		2 0		2
	O	x	нач. x A =		∫Fdr = ∫(− kx )dx = −kx				= kx	;
	конеч.			нач.		x	2	x	2
	конеч.
			Wп	=	kx	2
			Wп	=	2	.
					2

2. Потенциальная энергия системы тел

Если между телами системы действуют консервативные силы, то такая система обладает потенциальной энергией, причём её численное значение будет равно работе консервативных сил по переводу системы из данной конфигурации к конфигурации с условно нулевым уровнем потенциальной энергии.

mi	m1
	fik
	mk
Данная конфигурация		Конфигурация с условно нулевым
		уровнем потенциальной энергии

				Aданнаяполя	конф. →нул. конф.			=Wпвнутр	.
						δA = −dWп .
	ПРИМЕР
			Гравитационное					взаимодействие		двух	материальных
m1	F	m2 dr	точек
	r	r	Fграв = γ			m1m2	.
Исходная конфигурация			Fграв = γ			r2	.
						r2
			Нулевой			уровень		потенциальной		энергии	соответствует

расстоянию между телами r → ∞.

m1

m2

∞

m m

1

∞

m

W п = A поля = ∫γ

2

dr cosπ = −γm1m2

−

= −γ

2

.

∞

1

r

2

r

Нулевая конфигурация

Wп	r	1
0	r1	2
	r1	2

R

W п = −γ

m1m2

.

r

Arполя→R = −γ

М

З

m

−γ

М

З

m

−

=

r1

R

1

γМ

З

= {r1R ≈ R 2 ,r1 − R = h}==

mh = mgh .

R 2

IV. Законы изменения и сохранения энергии

Система тел

r1

m1

Тогда,

		Fd ,f d – внешние и внутренние неконсервативные силы, действую-
dri		i i
dri		щие на i-тое тело; Fi, fi – внешние и внутренние консервативные
ri
ri		силы, действующие на i-тое тело.
mi	m2	силы, действующие на i-тое тело.
mi	m2	Под действием сил тело массы mi перемещается на расстояние dri.

согласно закону изменения кинетической энергии, можно записать:
			2	2
			mi vi	= ∫FΣdri .

		∆	2
			2	1

mi vi2

d

∆ri

)+ (Fi ∆ri )+ (fi ∆ri ), так как

(

∆

)= δ внеш.

= −∆ внеш

∆

= (Fi

∆ri )+ (fi

Fi

ri

Aконс. сил

Wi п

2

и (f

∆r )= δA внутр.

= −∆W внутр , получим

i

конс. сил

i п

	2	= (Fi	∆ri )+ (fi	∆ri )− ∆Wi п	− ∆Wi п .
∆	mi vi	= (Fi	∆ri )+ (fi	∆ri )− ∆Wi п	− ∆Wi п .
	2
	2

Перенесём два последних слагаемых в правую часть уравнения:

	2
∆	mi vi	+ ∆Wiпвнеш
∆	2	+ ∆Wiпвнеш
	2

Введём некоторые обозначения:

+ ∆Wiп	= (Fi ∆ri	)+ (fi ∆ri ).	(1)

внутр	d	d

W к = ∑		m v 2	– кинетическая энергия системы тел;
		i i
		2
		2
Wпвнеш	= ∑Wiвнешп			– потенциальная энергия системы во внешних силовых полях;
Wпвнутр	= ∑Wiвнутрп			– потенциальная энергия системы во внутренних силовых полях;
δAвнешd	= ∑(Fid ∆ri ) – работа внешних неконсервативных сил;
δAвнутрd	= ∑(fid ∆ri )– работа внутренних неконсервативных сил.

Соотношение (1) записано для i-го тела. Записав аналогичные соотношения для всех тел системы и сложив их, получим:

∆(Wк +Wпвнеш +Wпвнутр )=δAвнешd +δAвнутрd

– закон изменения механической энергии системы тел. Обозначим:

W мех =W к +W пвнеш +W пвнутр

– механическая энергия системы тел. Тогда

∆Wмех = δAвнешd +δAвнутрd

– изменение механической энергии системы определяется работой как внутренних, так и внешних неконсервативных сил.

Закон сохранения механической энергии: если работа внешних неконсервативных сил и работа внутренних неконсервативных сил равна нулю, а внешние потенциальные поля стационарны, то механическая энергия системы остаётся постоянной.

W мех = const , если выполняются три условия (одновременно): 1) Aвнутрd = 0 , 2) Aвнешd = 0 , 3) внешние потенциальные поля стационарны.

ПРИМЕР

m1	v1
m1
h1	m2
h1	v2
	h2

Земля

Система тел m1-m2, внешнее тело – Земля.

W

m v2

m

2

v2

; W внеш

= m gh + m

gh ;

W внутр

kx

2

к

=

1 1

+

2

=

;

2

п

1 1

2 2

п

2

Aвнешd

– работа сил сопротивления воздуха,

Aвнутрd

– неупру-

гая деформация пружины.

§ 5. Абсолютно упругий и неупругий удары

(применение законов сохранения)

I. Неупругий удар

m1

v1

m2

v2 → m1 + m2

u

m v + m v = (m + m

)u → u =

m1v1 + m2 v2

;

1

2

1

2

(m1 + m2 )

(m1 + m2 )u

2

∆Wмех

=

−

m1v1

+

m2 v2

.

2

В выражение (**) подставим (*) и получим:

∆Wмех = −	m		m			v1 − v2	2
	m		m			v1 − v2	2
		1		2				.
	m1	+ m2			2			.
	m1	+ m2			2

II. Абсолютно упругий лобовой удар

Удар абсолютно упругий, если не происходит потери механической энергии.

(*)

(**)

m1	v1 m2	v2 → m1	u1 m2	u2
Пусть v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара.
1. Система замкнута выполняется закон сохранения импульса:
	m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2 u2 .			(1)

2.Т. к. удар абсолютно упругий, запишем закон сохранения механической энергии:

m v2	+	m	v2	=	m u2	+	m	u2
1 1		2	2		1 1		2	2	.	(2)
2		2			2		2

Объединим уравнения (1) и (2) в систему и решим её относительно переменных u1, u2:

			2						2				2				2
	m1v1				+	m2 v2				=	m1u1			+	m2 u2			,

	2						2					2				2
m		v		+ m			v	2	= m u				+ m			u	;
	1		1	2					1			1	2			2

u1 = −v1 +2 m1v1 + m2v2 ,

m1 + m2

u2 = −v2 +2 m1v1 + m2v2 .

m1 + m2

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: