Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 28-32 | База студенческих работ

ГЛАВА III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Законы сохранения позволяют связать состояния системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности протекающего процесса. Они несут информацию о характере внутренних сил системы. Они не знают исключений. Они справедливы как для микро-, так и для макротел; справедливы при скоростях, много меньших скорости света, и при скоростях, сравнимых со скоростью света.

§ 1. Закон сохранения импульса

m1	v1	pсист = m1v1 + m2 v2 +... + mN vN .
m1	v1	Закон изменения импульса системы:
	m2	Закон изменения импульса системы:
	v3		dpсист	= ∑Fiвнеш .
	v3			= ∑Fiвнеш .
	v2		dt
	m3	Если система замкнута, то Fвнеш			= 0 и	dpсист	= 0 .
		Если система замкнута, то Fвнеш			= 0 и		= 0 .
				i		dt
						dt

В замкнутой системе импульс остаётся постоянным: m1v1 + m2 v2 +... + mN vN = const .

Условия, при которых импульс системы остаётся постоянным

4.Внешние силы не действуют ( Fiвнеш = 0 ), либо векторная сумма всех внешних сил равна нулю ( ∑Fiвнеш = 0 ), тогда pсист = const .

5.Запишем закон изменения импульса системы в проекциях на оси Ox, Oy, Oz:

		d(p		сист	)	= ∑(Fiвнеш )x ,
					x
			dt

dp	сист	d(pсист			)y	= ∑(Fiвнеш )y ,
		= ∑Fiвнеш
dt			dt
					)
		d(p		сист		= ∑(Fiвнеш )z .
					z
			dt

Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю ( ∑Fiвнеш ≠ 0 ), но сумма внешних сил в проекции на одну из осей равна нулю (на-

пример, ∑(Fiвнеш )y = 0 ), то проекция импульса системы на это направление остаёт-

ся постоянной ( (pсист )y = const ).

6.Короткие взаимодействия (удары, взрывы). Если внутренние силы гораздо больше внешних сил, а время взаимодействия мало, то импульс системы можно считать постоянным.

∆pсист = Fвнеш ∆t ,

при ∆t → 0 pсист = const .

§ 2. Закон сохранения момента импульса

Характеристикой поступательного движения является импульс тела.

dtd (mv)= ∑F p = mv

импульс

Характеристикой вращательного движения является импульс тела.

dtd (Iω)= ∑M

L = Iω

момент импульса

I. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси

z			,
		Lточки = [r mv]
L	L	L = r mv sin(r mv).

v

r

m r

ПРИМЕР 1

Движение точки по окружности
L	z		L = [R mv], R mv.
	z		L = [R mv], R mv.
			L = R mv sin	π	= {v = ωR}= Rm ωR = mR 2ω = I точки ω .
		mv	L = R mv sin	π	= {v = ωR}= Rm ωR = mR 2ω = I точки ω .
		mv		2
	R
	R

ПРИМЕР 2
Прямолинейное движение точки
		z	L = Rm v sin(r mv)= Rm v sin(π −ϕ)= mvR sinϕ = mvh
		z	L = Rm v sin(r mv)= Rm v sin(π −ϕ)= mvR sinϕ = mvh
r					h
		h

φ
m	v

II. Момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси

Разобьём твёрдое тело на элементарные участки массой ∆mi .

z

v

L = ∑∆Li = ∑[ri ∆mi vi ].

Все ∆Li

всегда параллельны друг другу. Всегда ri vi.

∆Li

ω)=

L = ∑

π

ri

sin

2

∆Li = ∑ ri ∆mi vi

2

=

{vi = ω ri }= ∑(∆mi ri

∆mi

=ω ∑(∆mi ri2 )= IOzω .

O

IOz

LOz

= IOzω

.

III. Закон сохранения момента импульса

z

Запишем уравнение динамики вращательного движения для каждо-

го тела:

dL

=

∑Miвнутр1 + M1внеш ,

1

dt

dL2

внутр

внеш

=

∑Mi2

+ M2

,

dt

.......... .......... .......... ......

dLN

внутр

внеш

= ∑MiN

+ M N .

dt

Cложив уравнения данной системы, получим:

d

(

I ω )=

∑∑

M внутр +

∑

M внеш ;

dt ∑

i

ij

i

0

dL

сист

= ∑MOzвнеш

.

dt

Oz

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю

(∑MOzвнеш = 0), то момент импульса этой системы относительно данной оси остаётся постоянным ((Lсист )Oz = const ).

ω2 = I1 ω1 .

I2

I1ω1

I2ω2

z	ωx LOz = 0 ,
	0 = I колеса ω0 + I чел.+скам. ωx ,
	ω0	I колеса
	ωx = −		ω0 ,
O
		I чел. +скам.

Можно доказать теорему о том, что момент импульса тела относительно произвольной оси A равен сумме момента импульса этого тела относительно оси, проходящей через центр масс, и [r·mvц. м.].

LA = Lц. м. + [r mvц. м. ].

§ 3. Тензор момента инерции

Всестороннее сжатие тела

z Fz

Fy

y

x Fx

k xx

k = k yx

kzx

Fx = k xx ∆x + k xy ∆y + k xz ∆z,Fy = k yx ∆x + k yy ∆y + k yz ∆zFz = kzx ∆x + kzy ∆y + kzz ∆z;

F = k∆r .

k xy	k xz
k yy	k yz	– тензор упругости.
kzy	kzz

			Момент импульса твёрдого тела относительно
	z		точки
	Lz	LO	Lz = [r mv],
O	r	mv LO = [r mv]

r

Момент импульса твёрдого тела относитель-

z

но оси

Разобьём тело на участки ∆mi:

ri

∆mi

LО = ∑[ri ∆mi vi ]={vi = [ωri ]}= ∑∆mi [ri [ωri ]]=

= ∑∆mi (ω(ri ri )−ri (ωri ))=

O

y =

∑

∆m

(ω(x 2

+ y2

+ z2 )−r

(ω

x

i

+ω

y

i

+ω

z

)).

i

i i

x

i

x

Найдём проекции вектора LO на оси x, y, z:

L x = ∑∆mi (ωx (xi2 + yi2 + zi2 )− xi (ωx xi +ωy yi +ωz zi ))=

= (∑∆mi (yi2 + zi2 ))ωx −(∑∆mi x i yi )ωy −(∑∆mi x i zi )ωz ;

L y = −(∑∆mi yi x i )ωx + (∑∆mi (x i2 + zi2 ))ωz −(∑∆mi yi zi )ωz ;

Lz = −(∑∆mi zi xi )ωx −(∑∆mi zi yi )ωy + (∑∆mi (x i2 + yi2 ))ωz .

L = Iω, где I – некоторая матрица, которая называется тензором момента инерции.

∑∆mi (yi2 + zi2 )

I= − ∑∆mi yi x i

−∑∆mi zi x i

−∑∆mi x i yi ∑∆mi (x i2 + zi2 )

−∑∆mi zi yi

− ∑∆mi x i zi

− ∑∆mi yi zi =

∑∆mi (x i2 + yi2 )

I xx	I xy	I xz
I xx	I xy	I xz
I yx	I yy	I yz	;
I zx	I zy	I zz

2

I xx = ∑∆mi (yi

+ zi

)

I yy

= ∑∆mi

(x i2 + zi2 ) – осевые моменты инерции (обычные моменты инерции относи-

I

zz

=

∑

∆m

(x 2

+ y

2 )

i

тельно осей);

I xy = I yx = −∑∆mi x i yi

I yz

= I zy

= −∑∆mi yi zi

– центробежные моменты инерции.

I

= I

= −

∑

∆m

x

z

zx

xz

i

ПРИМЕР

Вращение материальной точки

	z			m(y2 + z2 )	− mxy
	z			m(y2 + z2 )	− mxy
			L =	− myx	m(x2 + z2 )
ω				− mzx	− mzy
ω		mv	L x = −mxz ωz ,
			L x = −mxz ωz ,
			L y = −myz ωz ,
			L y = −myz ωz ,
	r		L z = m(x 2 + y2 )ωz .
	r	y

x
x
			ПРИМЕР

− mxz

− myz (ωx ,ωy ,ωz ); m(x2 + y2 )

L

ω

L || ω

z	Две материальные точки, которые вращаются по
ω	окружности (расположены симметрично)
ω	ω= 0 i +0 j+ωz k ,

m	m	v	2m(y2 + z2 )
		I =	0
v

0

y

x

0	0
2m(x 2 + z2 )	0	,
0	2m(x 2 + y2 )

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: