Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 34-38 | База студенческих работ

L x = 0,
L y = 0,	L \|\| ω.
L z = 2m(x 2 + y2 )ωz ;

Если рассматривать любое тело, вращающееся относительно оси симметрии, то тензор инерции принимает диагональный вид:

	I xx	0	0
I =	0	I yy	0	,
	0	0	I zz

а вектор момента импульса сонаправлен с вектором угловой скорости, L || ω.

Тело любой формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, для которых тензор инерции имеет симметричный (диагональный) вид. Если начало отсчёта совместить с центром масс тела, то эти оси называются главны-

z ми осями.

		c		1	m(b2	+ c2 )
		c	12		m(b2	+ c2 )
			12
	a	y I =			0
		y I =			0

					0
b					0

x

0

121 m(a2 + c2 ) 0

0

0 . 121 m(a2 + b2 )

§ 4. Закон сохранения механической энергии

Энергия – количественная мера движения материи, единая для всех форм этого движения.

I. Работа (А)

Работа – мера перехода энергии из одного вида в другой или мера передачи энергии от одного тела к другому.

1

F ∆A = (F ∆r)= F ∆r cos(F∆r).

∆r

2

A = ∫Fdr

.

r1

1

r2

Работа при прямолинейном движении

F

2

Fx

A = ∫Fx dx .

1

2

x

1

O

1

2 x

Работа при вращательном движении

Если ∆α → 0, то ∆r r;

(r, F)

∆A = F ∆r

, где ∆r – смещение точки приложения силы F.

r

∆r

F

∆r = r ∆α , cos(F,r)= sin(F,r) ∆α . Отсюда

∆A = (F,r)= F ∆r cos(F,r)= Fr sin(F,r) ∆α =

∆α

r'

= {Frsin(F,r)= M }= M ∆α .

,

A = ∫2 (M dα)

.

∆A = (M ∆α)

1

II. Кинетическая энергия

1. Поступательное движение тела

	F			Уравнение динамики:
		v1	v2		dv

m		m		m dt = F			×dr ,
		dr		m	dv dr	= F dr ,

r1		r2
					dt

mv dv = (F dr);

dv2 = dv2 = 2v dv, v dv = d2v2 .

Отсюда получим

	mv	2	= (F dr).


d	2

Правая часть этого уравнения есть работа, т. е. мера перехода (передачи) энергии, поэтому можно предположить, что левая часть данного уравнения – приращение энергии.

			mvкон2		mvнач2	2
	mv2
W к =		,		−		= ∫F dr	.
	2		2		2
						1

Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу. dWк =δA .

2. Кинетическая энергия системы тел

m2

mi (dri)

Запишем уравнение динамики для каждого тела:

mi

dvi

= ∑fik + Fi

×dri ,

внутр

fi

dt

Fвнеш

mi

dvi dri = ∑(fik dri )+ (Fi dri ).

m1

i

dt

Принимая во внимание, что

vi dvi = d

v2

, получим

2

m1v1

mn vn

= ∑∑(fik

dri )+ ∑(Fi dri ),

d

+... +

2

fik dri + fki drk ≠ 0 ,

т. к. fik = −fki , но dri ≠ drk .

W ксист =	m v2	+	m	v2	+... +	m	v2	;
	1 1		2	2		n	n
	2		2			2
	2		2			2

dW ксист = δA внутр +δA внеш .

Изменение кинетической энергии системы тел определяется как работой внешних сил, так и работой внутренних сил.

3. Кинетическая энергия вращающегося тела

z

Представим энергию этого тела как сумму энергий материальных точек.

W к = ∑

δmi vi2

δmi ri2ω2

∑(δmi ri2 ) ω2

I zω2

=

,

2

= {vi =ωri }= ∑

2

∆mi

W квращ =

I zω

2

.

2

4. Сложное движение твёрдого тела (плоское движение)

∆mi

ц. м.

=

+

ц. м.

δm v2

=

mv2

+

I ω2

.

Wк = ∑

ц. м.

i i

2

III. Потенциальная энергия

dWк

= (F dr).

В зависимости от характера силы F кинетическая энергия может

быть переведена либо снова в механическую, либо в другие виды энергии.

Сила F

Переводит механическую энергию в механическую же.

Консервативные силы

Работа не зависит от формы траектории движения.

Переводит механическую энергию в другие виды энергии.

Неконсервативные (диссипативные) силы

Работа зависит от формы траектории движения.

Так как все силы в механике носят полевой характер, то классифицируем поля:

Поля

Работа сил поля не зависит от формы траектории движения.

Потенциальные поля (гравитационное и электростатическое)

Работа сил поля зависит от формы траектории движения

Непотенциальные поля

3	A132 = A142

1

4 2

Математический критерий потенциальности поля

Рассмотрим работу сил поля по замкнутому пути 1-3-2-4-1:

A13241 = A132 + A241 = {A132 = A142 }= A142 + A241 = {A142 = −A241}= A142 − A142 = 0 .

∫(F dr)= 0 .

l

Поле потенциально, если работа его сил по замкнутому контуру равна нулю (поле потенциально, если циркуляция сил поля по замкнутому контуру равна нулю).

ПРИМЕР

Поле центральных сил

Поле является центральным, если: есть силовой центр, F || r, F = F(r). Любая центральная сила всегда потенциальна.

Силовой центр			∫(F dr)= A12 + A23 + A34 + A41 ;
1 2		r	l
		r	A23 = A41 = 0 , т. к. F dr; A12 = −A43 →∫(F dr)= 0 .
4			A23 = A41 = 0 , т. к. F dr; A12 = −A43 →∫(F dr)= 0 .
4	F		l
3	F
3

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: