n
IOz ε = ∑MiOz i=1
– основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси Oz.
Так как ε = ddtω , уравнение можно записать в следующим виде:
IOz ddtω = ∑Mi .
Для твёрдого тела I = const, поэтому момент инерции можно внести под знак производной:
dtd (JOz ω)= ∑Mi .
Это уравнение в общем случае справедливо и для ситуации, когда I не остаётся постоянной величиной.
Если ввести понятие момента импульса твёрдого тела относительно оси Oz:
LOz = I oz ω,
то основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела можно записать в следующей форме:
dLdtOz = ∑MiOzвнеш .
∆mi до оси вращения.
ri
∆mi
O
I = ∫r2 dm .
V
Так как dm = ρ dV , где ρ – плотность вещества, а dV – элементарный объём, то имеем:
I = ∫ρr2 dV .
V
ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ
1. Момент инерции тонкого кольца и тонкостенного цилиндра z Разобьём кольцо на элементы ∆mi, тогда
I = ∑(∆mi R 2 )= R 2 (∑∆mi )= mR 2 ; |
||||
R |
∆mi |
|||
I кольца = mR |
2 |
. |
||
O
R
O
щества ρ
2. Момент инерции диска и сплошного однородного цилинд- |
|||||||||
z |
ра |
||||||||
rj |
Разобьём диск на тонкие кольца толщиной ∆rj, момент инер- |
||||||||
n |
|||||||||
∆rj |
h ции |
которых |
равен ∆Ij. Тогда I диска |
= ∑∆I j . |
Так как |
||||
j=1 |
|||||||||
∆I |
j кольца |
= ∆m |
r2 , то выразим массу ∆mi |
через плотность ве- |
|||||
j j |
|||||||||
и объём кольца ∆Vj: |
∆m j = ρ∆V j . Плотность цилиндра |
ρ = |
m |
, а объём |
|||||
πR 2 h |
|||||||||
∆V |
= 2πr |
∆r |
h . |
Тогда |
∆m |
= |
m |
2πr ∆r |
h = |
2mrj ∆rj |
. |
В |
результате |
|||
πR 2 h |
R 2 |
|||||||||||||||
j |
j |
j |
j |
j j |
||||||||||||
2mr3 ∆r |
j |
n |
|||||||||||||||||||
∆I j = ∆m j rj2 = |
j |
. Так как I диска |
= ∑∆I j |
, то при ∆rj → 0 получим |
|||||||||||||||||
R |
2 |
||||||||||||||||||||
j=1 |
|||||||||||||||||||||
R 2m |
3 |
2m |
r4 |
R |
mR 2 |
||||||||||||||||
I диска = |
r |
dr |
= |
= |
. |
||||||||||||||||
∫ R 2 |
R 2 |
4 |
2 |
||||||||||||||||||
0 |
0 |
||||||||||||||||||||
I диска |
= |
mR 2 |
. |
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
цилиндра |
|||||||||||||||||||||
3. Момент инерции тонкого стержня
а) Относительно оси, проходящей через центр масс
z |
∆xj |
Разобьём стержень на элементы массой ∆mj. Если ширина |
||||||||||||||||
элемента |
равна ∆xj , то |
∆m j = m |
∆x j , где l |
– длина |
||||||||||||||
xj |
x |
|||||||||||||||||
O |
m |
l |
||||||||||||||||
стержня. Тогда ∆I j = ∆m j x 2j |
= |
x 2j ∆x j |
и полный момент инерции I = ∑∆I j |
или, при |
||||||||||||||
l |
||||||||||||||||||
∆x j → 0 , |
||||||||||||||||||
I ц. м. = 2l / 2 |
m x |
2 dx = 2 m |
x 3 |
l / 2 |
= ml 2 . |
|||||||||||||
∫ |
l |
l |
3 |
12 |
||||||||||||||
0 |
0 |
|||||||||||||||||
Таким образом, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс,
I стержня = |
ml 2 |
. |
|
12 |
|||
ц. м. |
б) Относительно оси, проходящей через конец стержня
z |
∆x |
I = ∫l |
m |
x 2 dx = |
m |
x 3 |
|||||||
O |
x |
x |
0 l |
l |
3 |
||||||||
I стержня = |
ml |
2 |
. |
||||||||||
3 |
|||||||||||||
отн. конца |
|||||||||||||
l |
ml |
2 |
||
= |
. |
|||
0 |
3 |
|||
4. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр масс
z |
I шара |
= |
2 mR 2 |
(без вывода). |
|
5 |
|||||
R |
|||||
O
5. Момент инерции бруска относительно оси, проходящей че- |
|||||||||
z |
рез центр масс |
||||||||
h |
|||||||||
b |
I = m(a |
2 |
+ b |
2 |
) |
. |
|||
12 |
|||||||||
a |
|||||||||
OЕсли a = b = h, то
I куба = ma2 .
6
IV. Теорема о параллельных осях (теорема Штейнера)
Момент инерции тела зависит от выбора оси вращения. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс IOz, то момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной, можно найти по формуле
IO'z′ = IOz + mb2 .
Здесь Oz – ось, проходящая через центр масс; O′z′ – ось, параллельная оси Oz, b – расстояние между осями, m – масса тела.
z' |
z |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО |
Разобьём тело на элементарные массы ∆mi. Начало коорди- |
||
нат оси х расположим в центре масс тела. Момент инерции |
||
ц. м. |
x тела относительно оси, проходящей через центр масс |
O' b
ri
Ось O'z'
b
I 0 = ∑δmi Ri2 .
Момент инерции тела относительно параллельной оси
∆mi |
I = ∑∆mi ri2 . |
||||
ORi αi |
Так как r2 |
= R 2 |
+ b2 −2R |
bcos(π −α |
), то |
Ось ц. м. |
i |
i |
i |
i |
|
I = ∑∆mi ri2 = ∑∆mi Ri2 + ∑∆mi b2 +
+2∑∆mi Ri bcos(αi )= I0 + b2 ∑∆mi +2b∑∆mi Ri cos(αi )=
= { |
∆m |
i |
= m,R |
i |
cos(α |
)= x |
i |
− координата |
элемента ∆m |
}= I |
0 |
+ mb2 |
+2mb ∑∆mi x i |
= |
||||
∑ |
i |
i |
m |
|||||||||||||||
∑ |
∆m |
x |
||||||||||||||||
i = x ц. м. − координата центра масс, но т. к. начало координат совпадает |
||||||||||||||||||
= |
m |
i |
||||||||||||||||
сцентром масс, то x ц. м. = 0}= I 0 + mb2 .
Получили
IO 'z ' = IOz + mb2 ,
что и требовалось доказать.
V. Теорема о движении твёрдого тела
Всё вышеизложенное можно обобщить в виде следующих утверждений:
1.Любое сложное плоское движение тела можно представить как сумму поступательного движения этого тела и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела. (Такое разбиение не единственное.)
Качение цилиндра |
= |
+ |
2.Поступательное движение тела описывается движением центра масс, которое подчиняется следующему закону:
maц. м. = ∑F
или, в более общем виде,
d(mvц. м. )= ∑Fdt .
3.Вращательное движение тела вокруг оси центра масс происходит так, как если бы эта ось была неподвижна, т. е. подчиняется уравнению
I ц. м.ε = ∑Mцвнеш. м. .
или, в более общем виде,
d(I ц. м.ω)= ∑Mцвнеш. м. dt .
ЗАМЕЧАНИЕ
Уравнение Iε = ∑M справедливо только для неподвижной оси. Если же ось вра-
щения проходит через центр масс, то уравнение I ц. м.ε = Mц. м. справедливо и тогда, ко-
гда ось вращения движется ускоренно (в этом случае сумма моментов сил инерции обращается в нуль).
Сложное |
Поступательное |
Вращательное движение вокруг |
||
плоское |
= |
движение |
+ |
оси, проходящей через ц. м. |
движение |
maц. м. = F |
I ц. м.ε = Mц. м. |