Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 11-16 | База студенческих работ

		Кинематические параметры
1. Вектор смещения
		t1			∆r – вектор смещения (перемещения)
		r1			∆ – дельта
A	O		∆S		∆ – дельта
	O	r2			∆s ≠ ∆r
		r2
			∆r
		t2	∆r
		t2
2. Скорость
						– средняя скорость.
				v = ∆r		– средняя скорость.
					∆t

Вектор скорости равен отношению вектора смещения ко времени, за которое это смещение произошло.

Если ∆t → 0 , то ∆r ≈ ∆S .

Мгновенная скорость – это предел отношения вектора смещения ко времени при

∆t → 0 .

v = lim	∆r		= dr	;
∆t→0	∆t		dt
v =		dr	;	(1)
v =		dt	;	(1)
		dt
r = x i + yj+ zk .				(2)

Из (1) и (2)

v = dxdt i + dydt j+ dzdt k = vx i + vy j+ vz k .

v = v2x + v2y + vz2 ; vx = dxdt , vy = dydt , vz = dzdt .

ПРИМЕР

					dx		d
			vx	=		=
x = B t,			vx	=	dt	=	dt
x = B t,					dt		dt
	2				dy		d
y = A t		+C,	vy =			=
y = A t		+C,	vy =		dt	=	dt
					dt		dt
z = 0;				=	dz	= 0.
			vz	=	dt	= 0.
					dt

v = Bi + 2At j+ 0k ; v =

(Bt ) = B,

( At 2 +C ) = 2At ,

B2 +4A2t2 .

3. Ускорение

a =	dv	=	d 2 r	;
	dt		dt2

r = x i + yj+ zk .

Из (1) и (2)

a =

dv

x

i +

dvy

j+

dv

z

k =

d 2 x

i +

d 2 y

j+

d 2 z

k = ax i + ay j+ azx k .

dt

dt2

dt 2

dt2

dt

ПРИМЕР

(1)

(2)

x = Bt,

y = At 2 +C,z = 0;

vx = B,vy = 2At ,vz = 0;

a = 0i +

			dv		x
ax	=
			dt

			dvy

ay	=
			dt

		dv		z
az	=

			dt

2A j + 0k .

=dtd (B ) = 0,

=dtd (2At ) = 2A,

=0.

Нормальное и тангенциальное ускорения

y
		τ
	n	n
j	n	τ
j		τ
i		x

t1

τ1

ρ∆S

αρ t2

τ2

τ1

τ2

∆τ

Введём систему координат, связанную с движущимся телом.

Единичный касательный вектор – τ.

Единичный вектор, направленный в сторону вогнутости траектории, – n.

v = v τ +0 n;

a =	dv	=	d	(vτ ) =		dv	τ + v		dτ	.
	dt		dt			dt
									dt
∆τ ≈ τ1 и ∆τ ≈↑↑ n.
Из геометрии: α = l ρ , l =αρ		∆S		= ρα	∆τ =			∆S .

		∆τ		=τα				ρ

Тогда v ∆τ = v ∆τ n = v ∆S n = v2 n .

∆t ∆t ρ∆t ρ

v

Если тело движется по окружности радиуса R, то ρ = R и

v ∆τ = v2 .

∆t R

a = ddtvτ + vρ2 n = aττ + an n .

aτ = ddtv – тангенциальное ускорение. Возникает тогда, когда скорость изменяется по абсолютной величине.

an =	v2	– нормальное (центростремительное) ускорение. Связано с изменением
	ρ

вектора скорости по направлению.

a =	dv 2		v4	.
		+	ρ2
	dt

ПРИМЕР

Снаряд летит с начальной скоростью v0 = 200 м/с под углом α = 60°. Найти радиус кривизны ρ в верхней точке траектории.

	v0	A	v	an =	v2		v2		v02 cos2 α
		A	v	an =	ρ	ρ =	v2	=	v02 cos2 α	=1км .

							g		g
				an = g			g		g
α	g g		g	an = g
α	g g		g

§ 2. Кинематика вращательного движения

Вектор ∆φ направлен вдоль оси вращения. Направление векто- ∆φ ра ∆φ определяется по «правилу буравчика». Вектор ∆φ определя-

ется только для маленьких углов.

φ = φ(t) – кинематический закон движения при вращении.

A

A'

ω =

∆ϕ

– средняя угловая скорость.

∆φ

∆t

ω

ω=

∆ϕ

, ω ↑↑ φ;

∆t

ω = lim

∆ϕ =

dϕ

.

dt

∆t→0

∆t

Направление ω определяется по «правилу буравчика».

n

∆ϕ = ∆ϕn ,

плоскость вращения

ω=

dϕ

n = ωn , если n постоянен по

∆φ

dt

направлению.

ε = ddtω – угловое ускорение.

Для неподвижной оси ε || ω.

Связь между угловыми и линейными параметрами

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса R.

∆α

t2

∆S = R ∆α .

Разделим левую и правую части уравнения на ∆t:

R

∆S

t1

v

∆S

R ∆α

=

v =ω R

– скалярная форма записи.

∆t

ω

Векторы ω, r, v взаимно перпендикулярны. Сместим все векторы

· ω

в одну точку (точка А).

v

, v = ωrsin π ;

v

2

r

v = [ωr]

aτ = ε r

;

an =

= ω2r

.

A

r

2

r

ГЛАВА II. ДИНАМИКА

§ 1. Динамика материальной точки

Законы Ньютона

I закон Ньютона

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейно движется до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не вынудит его изменить это состояние. Отсюда следуют два утверждения:

1)Все тела обладают свойством инертности (т. е. сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения).

2)В природе существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта (ИСО), в которой тело в отсутствие взаимодействия покоится или движется равномерно прямолинейно.

IIзакон Ньютона

Сила – это количественная мера взаимодействия данного тела с другими предметами. Из опыта следует, что:

1)Ускорение a прямо пропорционально силе F (a ~ F).

2)Ускорение a обратно пропорционально массе m ( a ~ m1 ), m – мера инертности

тела.

Из 1) и 2) следует, что a = k mF , k зависит от выбора системы единиц и k = 1.

F

,

.

a =

ma = ∑Fi

m

i

d

2

x

= ∑Fix ,

m

2

dt

i

d 2 r

; m

d 2 r

∑Fi

d

2 y

= ∑Fiy ,

a =

2

=

→

m

dt

2

i

d

2 z

= ∑Fiz .

m

2

dt

i

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: