Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 17-21 | База студенческих работ

ПРИМЕР

Пружинный маятник, трения нет.

k

Ось х: Fx = −kx , m

d 2 x

= −kx , x ′′+

k

x = 0 .

dt

2

m

x

= A cos(ω0t +ϕ0 ), x ′ = −Aω0 sin(ω0t +ϕ0 ),

O

x

k

x ′′ = −ω02 A cos(ω0t +ϕ0 ) → x ′′ = −ω02 x == −

x → ω02

=

.

m

При ω02 =

k

уравнение, описывающее колебания тела массой m на пружине примет

m

x

k

следующий вид:

x =

.

A cos

m

t +ϕ0

A

O

t

Импульс тела

ma = ∑F

d(mv)

= ∑F

– второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

a = dv

dt

Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело. d(mv)= ∑Fdt , здесь mv – импульс тела, Fdt – импульс силы.

Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело.

III закон Ньютона

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Эти силы не уравновешивают друг друга, т. к. они приложены

к разным телам.

Fki	Fik = −Fki .
	Fik

§ 2. Динамика системы материальных точек

Система материальных точек – это совокупность тел, движением которых мы интересуемся в данной задаче. (В частности, любое твёрдое тело можно представить как систему материальных точек.)

Пусть имеется система, состоящая из N тел.

m1	f21	m2	mi – масса i-го тела системы;
f13			fik – внутренние силы, действующие между телами системы;

m3		F21	Fi – внешние силы, действующие на систему;
		I

m = ∑mi – масса системы.

II

Для описания системы запишем уравнение динамики для каждого тела в отдельно-

сти:

d

(m v )= f

+ f

+... + f + F ,

dt

1

12

13

1N

1

d

(m

v

)

= f

+ f

+

... + f

+ F ,

2

21

23

2 N

dt

2

...,

d

(m

v

)= f

+ f

+... + f

N (N −1)

+ F .

N

N 1

N 3

N

dt

Сложим левые и правые части уравнений:

d

∑mi vi

= ∑∑fij +

∑Fi ;

dt

i

j

i

∑fij = 0 , т. к. fij = −f ji .

j

сумма внутренних сил

d

(m1v1 + m2 v2 +... + mN vN )=

∑Fi

– закон изменения импульса системы.

dt

i

Импульс системы: pсист

= m1v1 + m2 v2 +... + mN vN .

dpсист

= ∑Fiвнеш

– скорость изменения импульса системы определяется только

dt

суммой внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, то ∑Fi = 0 и pсист = const .

Центр масс системы тел

z m1

m3 r1

r3

r2 m2

x

x ц. м.


		rц.м. =	∑(mi ri )					∑mi = mс – масса
			i		– центр масс системы,
			∑mi		– центр масс системы,
			∑mi					i
			i
		системы.
y		Координаты центра масс системы тел:
=	∑(mi x i )		, yц. м. =	∑(mi yi )		, zц. м. =	∑(mi zi )
	i				i		i	.
		mc			mc		mc	.
		mc			mc		mc

Скорость центра масс системы тел:

d(rц. м. )

∑mi

dri

dt

vц. м. =

=

d

∑mi ri

=

.

dt

m

c

m

c

Принимая во внимание, что	dri	= vi , а ∑mi vi = pсист , получим			vц. м. =	pсист	. Отсюда
	dri
	dt

						mc
импульс системы

			pсист = mc vц. м.	.

Следовательно, импульс системы тел можно найти двумя способами: 1) по определению ( pсист = m1v1 + m2 v2 +... + mN vN ), 2) через скорость центра масс системы

( pсист = mc vц. м. ).

Закон движения центра масс системы тел

Запишем закон изменения импульса системы:

dpсист = ∑Fiвнеш .

dt

Принимая во внимание, что pсист = mc vц. м. , запишем

d	(mc vц. м. )= ∑Fiвнеш		.
		mcaц. м. = ∑Fiвнеш
dt

Центр масс системы тел движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системе, под действием силы, равной сумме сил, действующих на систему.

	F1			F1
	m1		ц. м.
	m3		mс	F2
F3	m2		mс
		F2	F3

§ 3. Динамика твёрдого тела

Сложное движение твёрдого тела можно разделить на плоское движение и другие виды движения.

Плоским движением тела называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях. Плоское движение в свою очередь можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного (относительно центра масс). Такое разбиение не единственное.

Поступательным называется такое движение, при котором прямая, соединяющая две точки тела, не меняет своей ориентации в процессе движения.

Разделим динамику твёрдого тела на динамику поступательного и динамику вращательного движения.

I. Динамика поступательного движения

Представим твёрдое тело как систему материальных точек ( mc = ∑∆mi ). Тогда

центр масс тела будет двигаться как центр масс системы материальных точек.

mтелаaц. м. = ∑Fiвнеш .

mс

∆mi

При поступательном движении все точки тела движутся, как центр масс.

Все силы, приложенные к твёрдому телу при поступательном движении, можно приложить в точку центра масс.

F2	F2
	ц. м.
F1	F1
	F3

F3

II. Динамика вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Всё сказанное ниже будет также справедливо и для ускоренно движущейся оси, проходящей через центр масс.

					Момент силы (M)
					Момент силы		.
						M = Fh
α				F		M = Fh
		h		F	h – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до
					h – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до
			·		линии действия силы).
	ось				линии действия силы).
					Момент силы – мера взаимодействия тел во вращательном


					движении.
					движении.

		F				h = rsinα = rsin(rF),
r		α					M = Frsin(rF)			.


h	α				Векторная форма записи момента сил:
h
								M = [rF]	;
						M = rF sin(rF)= Fh .
					M					M	F
					M						F
					M
					r	F					r
					r	r					r
						r
Можно доказать,					ось вращения					ось вращения



				что ∑Mвнутр = 0 .
	Основное уравнение динамики вращательного движения
					а)	Движение					материальной
		z (ось вращения) точки				по				τ F окружности
		z (ось вращения) точки				по				τ F окружности
			F
								Ось r		α
		r			Вид сверху →

O

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось τ:

maτ = F sinα		mrε = F sinα ;
aτ = εr

умножим на r левую и правую части уравнения:

mr2ε = rF sin(rF).

инертность ускорение

M –

характеристика

взаимодействия

во вращательном движении

mr 2 = IOz

– момент инерции материальной точки относительно оси Oz.

IOzε = M

– основное уравнение динамики вращательного движения материальной

точки.

Сравним: ma = F ; I – m, ε – a, M – F.

б) Движение твёрдого тела, закреплённого на оси вращения

z

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг оси

Oz. Пусть на него действуют внешние силы Fi. Разобьём тело на n

ri

Fi

малых элементов массой δmi. На каждую элементарную массу δmi

могут действовать как внутренние силы fij, так и внешние силы Fi.

δmi

Так же, как и в предыдущем случае, для каждой элементарной мас-

O

сы ∆mi запишем II закон Ньютона в проекции на касательную ось τ:

δmi aiτ

= fi1 sin(αi1 )+ fi2 sin(αi2 )+... + Fi sin(αi ).

Домножив это уравнение слева и справа на ri, и учитывая то, что aiτ = εri

, запишем сис-

тему уравнений:

2

ε = f12 r1 sin(α12 )+ f13 r1 sin(α13 )+... + F1 r1 sin(α1 ),

δm1

r1

δm

r

2

ε = f

r

sin(α

)+

f

r

sin(α

)+... + F

r

sin

(α

),

2

21

2

21

23

2

23

2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..

δm

n

r2

ε = f

n1

r

sin(α

n1

)+

f

n2

r

sin

(α

n2

)+... + F

n

r sin(α

n

).

n

Сложив уравнения этой системы, получим

n

sin(αij

)+

n

∑δmi ri2 ε = ∑∑ fij ri

∑Fi ri sin(αi ).

i=1

i=1 j=1

i=1

Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой сумму моментов внутренних сил, которая (в силу III закона Ньютона) равна нулю, что легко доказать. Вторая сумма – сумма моментов внешних сил, действующих на это тело:

n

∑Fi ri sin(αi )= ∑M iвнеш . i=1

n

Обозначим через I следующую сумму: I = ∑δmi ri2 , которую назовём моментом

i=1

инерции твёрдого тела относительно оси вращения Oz. Тогда полученное уравнение можно записать в следующем виде:

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: