Материал: МЭИ(ТУ) Физика

При отражении в точках В и С изменения фазы не происходит.

Если показатель преломления окружающей среды больше, чем показатель преломления плёнки, то изменение фазы на π произойдёт дважды и оптическая разность хода будет отличаться от выражения (1) на λ.

Плёнка наиболее прозрачна для света с заданной длиной волны, если разность хода, определяемая выражением (1), кратна четному числу полуволн (условие максимума):

где m = 1, 2, 3, ...

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), можно, очевидно, ответить на поставленные вопросы.

РЕШЕНИЕ

Из выражений (1) и (2) для света с длиной волны λ1 получим

d = λ21nm . (3)

При такой толщине плёнка будет наиболее интенсивно окрашена в жёлтый цвет. Очевидно, наименьшая толщина плёнки соответствует m = 1 , т. е.

d1 = 2λn1 = 0,23 мкм.

Одновременное максимальное прохождение жёлтого и голубого света означает, что толщина плёнки удовлетворяет и условию (3), и условию

где k = 1, 2, 3, ...

Приравняв правые части выражений (3) и (4), найдём

λ1 = k .

λ2 m

Это значит, что наибольшая прозрачность одновременно для двух заданных длин волн возможна, если отношение этих длин волн равно отношению двух целых чисел. По условию,

λ1 = 6 = 12 = 18 и т. д., λ2 5 10 15

т. е. k = 6, т = 5 – минимально возможные значения. Наименьшая толщина плёнки, соответствующая этим значениям k и m [см. (3) и (4)],

d2 = 52λn1 = 62λn2 =1,15 мкм.

Таким образом, при толщине d2 = 1,15z мкм, где z – любое целое число, плёнка наиболее прозрачна одновременно для длин волн λ1 и λ2. Следует обратить внимание на то, что одновременная наибольшая прозрачность для двух длин волн оказывается возможной при толщине плёнки значительно большей, чем для одной длины волны. Следует также отметить, что в общем выражении для толщины плёнки (d = 1,15z) число z не должно принимать больших значений, так как в противном случае плёнка может оказаться прозрачной и для других длин волн.

Задача 21.6

Некоторое колебание возникает в результате сложения N = 4 колебаний одного направления, происходящих по закону ξk = A1 cos [ωt + (k – 1)Θ], где k – номер колебания, а А1 и Θ – постоянные коэффициенты. При каких значениях Θ амплитуда результирующего колебания максимальна и минимальна? Найти наибольшую результирующую амплитуду колебаний.

АНАЛИЗ

Результирующее значение ξ(t) в любой момент может быть выражено как

k =1

Так как каждый из процессов ξ(t) есть гармонический процесс с одной и той же циклической частотой ω, результирующий процесс также будет гармоническим с той же частотой:

Амплитуда А и начальная фаза ψ результирующего колебания могут быть найдены аналитическим методом при непосредственном решении тождества (1) после подстановки в него выражения (2) и выражений ξk(t) в явном виде. Однако результирующую амплитуду, а затем и условия, при которых она принимает экстремальные значения, проще найти, используя векторный метод сложения колебаний.

При использовании этого метода каждому гармоническому колебательному процессу ξk ставится в соответствие «изображающий» вектор ak. По условию, все колеба-

ния происходят с равными амплитудами и с одинаковой циклической частотой. Это позволяет считать, что, во-первых, все «изображающие» векторы равны по модулю, вовторых, их взаимное расположение с течением времени не изменяется, поэтому достаточно показать положение «изображающих» векторов в момент t = 0.

Вектор a1, изображающий процесс ξ1 = A1cos ωt, расположится вдоль оси x; угол, образуемый другими векторами с осью x, определяется соответствующей начальной фазой φ0k = (k – 1)Θ. Векторная диаграмма для произвольного Θ

показана на рис. 10. [Очевидно, Θ есть разность начальных фаз между k-м и (k + 1)-м колебаниями, где k = 1, 2, 3, 4.] Вектор А соответствует результирующему колебанию. Его модуль, как видно из рисунка, зависит от угла Θ и может быть рассчитан в общем виде.

В этом случае все «изображающие» векторы сонаправлены и А = 4A1. Если «изображающие» векторы образуют замкнутый многоугольник, то результирующая амплитуда А = 0, т. е. все колебания как бы уничтожают друг друга. В данном случае таким замкнутым многоугольником будет квадрат и разность фаз

Векторные диаграммы для И1 = р2 и И2 = 32р приведены на рис. 11а, б. Так как

число складываемых колебаний чётное, результирующая амплитуда обращается в нуль также и при

Рис. 11

В этом случае векторы, соответствующие процессам 1 и 2, 3 и 4, направлены в противоположные стороны и попарно уничтожают друг друга. Условия (4) и (5) могут быть сведены к условию

где m ≠ N, 2N, ... (в данном случае N = 4). Следует обратить внимание на то, что условие

(3) для Θ (постоянной разности фаз между двумя соседними колебаниями), соответствующее максимуму результирующей амплитуды А1, совпадает с условием максимума при сложении двух колебаний. Условие (6) нулевой результирующей амплитуды отличается от соответствующего условия при сложении двух колебаний.

Задача 21.7

Плоская монохроматическая волна длиной λ = 0,54 мкм падает на тонкую собирающую линзу L (рис. 12) с фокусным расстоянием f = 50 см. Вплотную за линзой расположена плоская диафрагма D с круглым отверстием, а за диафрагмой, на расстоянии d = 75 см от неё, находится экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. При каких радиусах отверстия в центре дифракционной картины будет максимум освещённости? Главная оптическая ось линзы перпендикулярна фронту падающей волны, плоскости диафрагмы и экрану наблюдения и проходит через центр С отверстия.

АНАЛИЗ

Для расчёта дифракционной картины свободную часть фронта волны следует разбить на зоны Френеля. Как известно, зона Френеля – это свободный участок фронта волны, крайние вторичные (виртуальные) источники которого посылают в рассматри-

ваемую точку волны с разностью фаз π, т. е. с разностью хода ∆Φ = λ/2 (под крайними виртуальными источниками понимаются такие, которые находятся на минимальном и максимальном расстояниях от точки наблюдения). Так как волны от всех виртуальных источников, располагающихся на открытой части фронта падающей волны (т. е. в отверстии), распространяются в одной среде (в воздухе), то разность хода ∆Φ определяется только разностью расстояний от виртуальных источников до точки М.

На линзу, по условию, падает пучок параллельных лучей (плоская волна), которые за линзой должны собраться в её главном фокусе F. Это значит, что на диафрагму с отверстием падает световая волна, фронт которой – сфера радиуса R = f с центром в главном фокусе F линзы. Зоны, проведённые из точки М экрана, лежащей на перпендикуляре, опущенном из центра отверстия, имеют форму сферических колец; первая зона – форму шарового сегмента. На рис. 13 показаны (в сильно увеличенном масштабе) и обозначены цифрами первые три зоны.

Если линза тонкая, то центр зоны 1 практически совпадает с точкой О – центром линзы. Так как фронт волны обращён вогнутостью к экрану, то расстояния от края зоны 1 до точки М меньше, чем ОМ, на λ/2, от края зоны 2 – на 2λ/2 и т. д. Тогда расстояние от точки В (край отверстия) до точки М

где k = 1, 2, 3, ... – число зон Френеля, которые отверстие диафрагмы оставляет открытыми. Так как зоны Френеля равновелики по площади, а результирующие волны от двух соседних зон Френеля приходят в точку М с разностью фаз π, то максимум освещённости в точке М наблюдается тогда, когда отверстие в диафрагме оставляет открытым нечётное число зон Френеля. Это соответствует k = 1, 3, 5, … в выражении (1).

Условие (1) для нечётных k совместно с геометрическими соотношениями, которые легко могут быть получены при рассмотрении треугольников ВСМ и BCF, позволит найти искомый радиус отверстия.

РЕШЕНИЕ

Если обозначить расстояние ОС через х, то OM = d + x, СF = f – х.