дают устойчивую интерференционную картину, причем разность фаз между волнами, приходящими в любую точку пространства, определяется только разностью расстояний r1 и r2, проходимых волнами от источников S1 и S2 до рассматриваемой точки:
∆ϕ = |
2π |
(r − r ). |
(1) |
λ 1 2 |
|||
Во всех точках пространства, для которых разность фаз равна четному числу π, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд приходящих волн. В этих точках будут интерференционные максимумы. В точках, где разность фаз ∆φ равна нечетному числу π, будут минимумы; амплитуда результирующего колебания в этих точках, равна модулю разности амплитуд приходящих волн.
В любой плоскости, в которой лежат источники (например, в плоскости рис. 2), геометрическое вместо точек равных значений ∆φ – гиперболы (рис. 3). Очевидно, в пространстве геометрическое место точек заданных зна-
чений: ∆φ (а значит, и ∆r) –гиперболоид вращения. Картина в пространстве получится, если рис. 3 вращать вокруг оси S1S2. Множество точек, для которых ∆φ = 0 (центральный максимум), – плоскость, перпендикулярная отрезку S1S2 и делящая его пополам. Если расстояния от источников до рассматриваемых точек очень велики, так что ∆r = r1 – r2 << r1 и ∆r << r2, то, во-первых, можно считать, что θ1 = θ (рис. 1) и разность хода практически зависит только от направления излучения, т. е. от угла θ, причём
∆r = r1 − r2 = l sinθ ; |
(2) |
во-вторых, на таких больших расстояниях относительное различие амплитуд волн, приходящих в одну и ту же точку, пренебрежимо мало (предполагается, что источники обладают одинаковой мощностью излучения). В этом случае в тех точках пространства, в которых ∆φ = (2n + 1)π, результирующая амплитуда близка к нулю.
Интерференционная картина, которая получится на экране, расположенном параллельно прямой S1S2, представляет собой сечение гиперболоидов плоскостью экрана – семейство гипербол. Поскольку расстояние d от источников до экрана велико, то отрезки этих гипербол можно считать отрезками прямых, параллельных центральной пря-
мой, получающейся в результате пересечения экрана и плоскости, для которой ∆φ = 0 (ось O1Z на экране, рис. 2).
Таким образом, интерференционная картина на экране – система чередующихся светлых и тёмных полос .Поскольку амплитуды сферических волн, излучаемых источниками S1 и S2, обратно пропорциональны расстоянию, а интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды, интерференционные максимумы имеют различную яркость. Наиболее яркой будет центральная полоса. Каждая из светлых полос ярче в точках, лежащих на оси O1Y.
Ордината любой светлой или тёмной полосы, соответствующей направлению излучения θ,
y = d tgθ . |
(3) |
Сопоставляя выражения (1)-(3) и условия максимумов (или минимумов), можно рассчитать ширину интерференционных полос.
РЕШЕНИЕ
Ширину интерференционной полосы определим как расстояние между двумя соседними максимумами. Условие n-го максимума [см. (1), (2)]
∆ϕ = |
2π |
l sinθ = 2nр , |
(4) |
λ |
|||
где n = 0, 1, 2, ...
Так как d >> l, можно считать, что sin θ ≈ tg θ, тогда ордината n-го максимума на экране [см. (3), (4)]
yn = dλl n .
Ордината следующего максимума
yn+1 = dλ(n +1). l
Искомая ширина интерференционной полосы
∆y = yn+1 − yn = dlλ = 0,3 мм .
Таким образом, расстояние ∆y не зависит от порядка максимума, т. е. интерференционная картина имеет вид светлых и тёмных полос равной ширины.
Задача 21.3
В интерференционной установке с бизеркалами Френеля источником света служит очень узкая щель, параллельная линии пересечения зеркал, находящаяся на расстоянии r = 10 см от неё (рис. 4). Угол между зеркалами α = 12'. Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном на расстоянии b = 120 см от линии пересечения зеркал. Найти: 1) ширину интерференционных полос на экране и их число; 2) сдвиг интерференционной картины при смещении щели на расстояние δS = 1,0 мм при неизменном расстояния r; 3) максимальную ширину щели, при которой интерференционная картина будет достаточно отчётливой.. Источник даёт монохроматическое излучение с длиной волны λ = 5500 Å.
АНАЛИЗ
В данном опыте источником света является узкая щель, которую можно рассматривать как светящуюся линию. Система бизеркал Френеля дает два мнимых изображения этой светящейся линии, располагающихся параллельно самому источнику и линии пересечения зеркал, т. е. параллельно оси O1Z1. Каждой точке S светящейся щели (линии) соответствуют два мнимых изображения S' и S". Эти три точки лежат в плоскости, параллельной плоскости X1O1Y1. На рис. 4 изображены точка Sк, соответствующая се-
редине светящейся щели (линии), и её мнимые изображения Sк′ и Sк′′. Любая пара мни-
мых источников, являющихся изображениями одной точки светящейся линии, напри-
мер Sк′ и Sк′′, представляет собой точечные когерентные источники. Источники явля-
ются когерентными, так как в любой момент они в точности повторяют все особенности излучения светящейся точки Sк: начальную фазу, направление колебаний вектора Е, возможное отклонение от монохроматичности.
Различные точки самой светящейся линии не когерентны между собой. Соответственно их мнимые изображения представляют собой некогерентные источники, т. е. волны, приходящие в одну точку экрана от этих источников, не дают интерференционных полос.
Волны, распространяющиеся от каждой пары когерентных источников, образуют в пространстве интерференционную картину в виде системы гиперболоидов вращения, каждый из которых соответствует определенной разности фаз. Если расстояние I между
мнимыми изображениями светящейся линии мало по сравнению с расстоянием d от них до экрана Э, то сечения гиперболоидов плоскостью экрана можно считать системой отрезков прямых, параллельных оси OZ. Разность фаз между волнами, приходящими от какой-либо пары когерентных источников (например, Sк′ и Sк′′) в некоторую точку эк-
рана, зависит в этом случае только от угла θ, который каждый луч образует с осью О1Х1
(в данном случае ось О1Х1 соответствует полярной оси ОА на рис. 1). |
|||
Условие интерференционных максимумов имеет вид |
|||
∆ϕ = |
2π |
l sinθ = 2mр, |
(1) |
λ |
|||
Ордината m-й светлой полосы на экране |
|||
ym = d tgθ . |
(2) |
||
Таким образом, положение интерференционного максимума m-го порядка определяется углом θ и параметрами установки (r, α, b), от которых зависят расстояния l и d.
Для того чтобы с помощью равенств (1) и (2) рассчитать положение интерференционных полос и их ширину, рассмотрим ход интерферирующих лучей.
Точки Sк′ и Sк′′ являются мнимыми изображениями точ-
ки Sк соответственно в зеркалах I и II (рис. 5). По законам построения изображений в плоском зеркале расстояния
CSк′ = CSк′′ = CSк = r ,
т. е. все три точки Sк, Sк′ и Sк′′ лежат на окружности радиуса r с центром в точке С. Поэтому центральный угол
Sк′CSк′′ = 2β , где β – угол между хордами SкSк′ и SкSк′′ . Уг- |
Рис. 5 |
|
лы β и α равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами: сторона SкSк′ |
пер- |
|
пендикулярна зеркалу I, SкSк′′ перпендикулярна зеркалу II. Таким образом, централь- |
||
ный угол Sк′CSк′′ = 2α . Так как угол α мал, расстояние между источниками |
||
Sк′Sк′′ = r = 2αr , |
(3) |
|
а расстояние от источников до экрана (см. рис. 4) |
||
d = b + r . |
(4) |
|
Так как угол излучения θ мал, то sin θ = tg θ и из выражений (1) и (2) получим |
||
= dλm ym l
или, учитывая (3) и (4), |
|||
ym = |
(b + r)λm |
. |
(5) |
2αr |
|||
Число интерференционных полос можно определить, зная протяжённость области, в которой локализована интерференционная картина.
Смещение источника на расстояние δS (см. рис. 5) при неизменном r соответствует перемещению светящейся линии по цилиндрической поверхности радиуса r, ось которой совпадает с линией пересечения зеркал. При этом и источник Sк, и его мнимые изо-
бражения Sк′ и Sк′′ останутся на окружности радиуса r. При смещении источника на расстояние δS против часовой стрелки, например, в точку L, его мнимые изображения переместятся (по часовой стрелке) в точки L' и L"'. Положение этих точек при заданном положении точки L определяется законами построения изображений в плоском зеркале. Так как LL' и LL" перпендикулярны соответствующим зеркалам, смещения мнимых изображений Sк′L′ и Sк′′L′′ равны смещению δS источника Sк и соответствует повороту на угол δφ = δS/r. Расстояние между мнимыми источниками остаётся равным l.
В действительности любой светящийся источник обладает конечными размерами. Интерференционная картина представляет собой наложение интерференционных полос от линий, на которые можно разбить реальную светящуюся щель. При этом эти отдельные светящиеся линии не когерентны между собой. Для того чтобы интерференционная картина была достаточно различима,
расстояние δy между максимумами одного порядка, получаемыми от противоположных краёв щели, должно быть не больше половины ширины интерференцион-
ных полос, создаваемых в данной установке идеально узкой светящейся щелью. На рис. 6 сплошная линия показывает распределение интенсивности вдоль оси OY на экране в районе двух соседних максимумов, если интерференционная картина создана идеальной светящейся линией, расположенной на одном из краёв щели. На рисунке показаны максимумы m-го и (m + 1)-го порядков. Пунктирная кривая изображает максимум m-го порядка интерференционной картины, создаваемой светящейся линией, расположенной на другом краю щели.
РЕШЕНИЕ
1. Запишем выражение (5) для m-й и (m + 1)-й светлых полос: