Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Импульс вылетевшего электрона, направленный в сторону, противоположную векторам pк и pν,

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ГЛАВА V. ОПТИКА

§ 21. Интерференция и дифракция

В задачах этого параграфа рассматриваются явления интерференции и дифракции. Явление интерференции есть результат сложения волн. Интерференцией вторичных волн обусловлено и неравномерное распределение амплитуд колебаний (а следовательно, и интенсивностей) в некоторой области пространства, появляющееся вследствие дифракции. Поэтому при решении задач особое внимание следует уделять коге-

рентности волн.

Когерентность в обычных оптических схемах (за исключением излучения высокой степени когерентности, создаваемого лазерами) достигается тем, что световой пучок, испускаемый точечным источником, разделяется на два; последние тем или иным способом сводятся в одну точку пространства, в которой и наблюдается интерференция. Такое разделение часто приводит к тому, что вместо одного источника появляются два мнимых, когерентность которых и надо установить. Волны, испускаемые разными точками одного протяженного источника, не когерентны. В некоторых задачах вводятся идеализированные источники, когерентность которых либо оговорена, либо следует из описания самих источников.

В задачах, связанных с дифракцией света, используется теория Френеля-Гюйгенса. Согласно этой теории, любая точка пространства, до которой дошел фронт волны, представляет собой вторичный (виртуальный) источник; все виртуальные источники когерентны; наблюдаемое распределение интенсивности света есть результат интерференции вторичных волн. Метод зон Френеля и векторное сложение колебаний (метод векторных диаграмм), используемые при решении задач, естественно приводят к тому, что расчет дифракционной картины является приближённым.

При решении задачи необходим детальный анализ всей оптической схемы и явлений, происходящих при отражении света и при переходе через границу раздела сред. Для описания интерференции волн (как при собственно интерференции, так и при дифракции) во всех случаях удобно пользоваться понятием луча, изображая на оптиче-

ских схемах ход лучей. Под лучом (точнее, осевым лучом) понимается осевая линия узкого светового пучка, распространяющегося от источника (реального, мнимого или виртуального) в данную точку пространства. В этом случае можно говорить о разности хода двух лучей или даже о разности их фаз.

Внекоторых оптических схемах используются тонкие линзы. Следует иметь в виду, что линзы обладают свойствам таутохронизма, т. е. не сообщают дополнительной разности фаз лучам, которые сводятся линзой в одну точку.

При анализе и решении задач предполагается, что основные законы геометрической оптики, включая ход лучей через тонкую линзу и построение изображения в зеркале, известны.

Взадачах 21.1 и 21.6 не оговорена физическая природа колебаний, в остальных задачах рассматриваются световые волны.

Задача 21.1

Два «идеальных» гармонических вибратора, совершающих колебания с одинаковой частотой со сдвигом начальных фаз ∆α0 = π/4, находятся на расстоянии l друг от друга. При каких углах излучения θ (рис. 21.1) амплитуда результирующей волны максимальна при l = λ/4 и l = 3λ?

АНАЛИЗ

В условии не оговорена физическая природа волн, излучаемых вибраторами. В случае электромагнитных (поперечных) волн интерференционная картина наблюдается, если обе волны плоскополяризованные и направления колебаний векторов Е – векторов напряжённости электрического поля – совпадают. Предположим, что вибраторы представляют собой очень малые линейные гармонические диполи, расположенные перпендикулярно плоскости рисунка. В этом случае при любом направлении распространения в плоскости рисунка векторы Е излучаемой волны параллельны самим диполям, т. е. также направлены нормально плоскости рисунка. Поскольку вибраторы

совершают гармонические колебания с одинаковой частотой, волны, ими излучаемые, когерентны. Рассмотрим точку М, положение которой определяется модулем радиусвектора r и углом θ – углом между вектором r и полярной осью ОА. Так как по условию требуется найти углы излучения θ, для которых в интерференционной картине будут

наблюдаться максимумы, то, очевидно, что каждый из лучей r1 и r2, проведённых от источников к точке М, должен образовывать с полярной осью угол, практически равный θ. Это возможно, если расстояние r много больше расстояния l = S1S2. В этом случае разность хода, т. е. разность расстояний, пройденных волнами, излучёнными источниками S1 и S2,

Очевидно, что на рисунке показать истинное соотношение расстояний нельзя, поэтому следует считать, что θ1 = θ.

Предположим, что колебания источника S1 опережают колебания источника S2 по фазе на заданное значение ∆α0. Тогда уравнения волн, приходящих в точку М от источников S1 и S2, имеют вид

E1 = E01 sin(ωt − kr1 ), ,

где k = 2π/λ – волновое число.

Разность фаз между этими волнами в точке М

Амплитуда результирующей волны максимальна, если разность фаз волн, приходящих в данную точку пространства, кратна чётному числу π:

∆ϕ12 = 2nр, n = 0, 1, 2, … (3)

Подставим выражение (1) в (2) и приравняем разность фаз ∆φ12 [см. (3)] чётному числу π:

2λрl sinθ − ∆α0 = 2nр .

Тогда угол излучения, для которого амплитуда результирующей волны максимально, должен удовлетворять условию

Выражение (4) получено в предположении, что расстояние r >> l, т. е. что мы ведём наблюдение достаточно далеко от источников. Никаких ограничений на отношение l/λ при выводе не было наложено. Если l ≤ λ, т. е. λ/l ≥ 1, то выражение (4) имеет смысл при n = 0, т. е. амплитуда результирующей волны максимальна только для одного фиксированного значения угла θ.

При l > λ интерференционное поле двух вибраторов имеет многолепестковую структуру, т. е. максимумы для нескольких направлений излучения.

РЕШЕНИЕ

на в направлениях излучения:

θ0′ = arcsin 241 ≈ 2,4o (n = 0);

θ1 = arcsin 249 ≈ 22o (n = 1);

θ2 = arcsin 1724 ≈ 45o (n = 2).

Значение n = 3 уже не возможно (sin θ > 1).

Задача 21.2

Два точечных когерентных оптических источника, колеблющихся в фазе, находятся на расстояния l = 0,5 мм; друг от друга. Источники дают монохроматическое излучение с длиной волны λ = 0,3 мкм. Экран наблюдения расположен параллельно прямой, соединяющей источники,

на расстоянии d = 30 см от них (рис. 2). Описать интерференционную картину, наблюдаемую на экране. Найти расстояние между двумя соседними максимумами.

АНАЛИЗ

В условии оговорены когерентность источников и равенство нулю начальной разности фаз. Каждый из источников – точечный, т. е. излучает сферическую волну, амплитуда которой обратно пропорциональна расстоя-

Рис. 2

нию: A = A0/ri. Волны, излучаемые этими источниками,