Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	ym =	(b + r)λm	, ym+1 =				(b + r)λ(m +1)		.
	ym =		, ym+1 =						.
		2αr						2αr
Тогда
	∆y = ym+1 − ym =			(b + r)λ				=1,0 мм.		(6)
	∆y = ym+1 − ym =							=1,0 мм.		(6)
					2αr
Область локализации интерференционной картины ограничена лучами										Sк′CB и
′′	(см. рис. 4), протяжённость этой области на экране определяется расстоянием
SкCA
АВ. Как видно из схемы, АВ = 2αb. Тогда число интерференционных полос
		N = AB +1 =			2αb	+1 = 9,4 ,
		N = AB +1 =				+1 = 9,4 ,
		∆y			∆y

где AB∆y – число промежутков между максимумами.

Таким образом, число интерференционных полос N = 9.

2. При смещении источника интерференционная картина на экране не изменяется, а только смещается, в данном случае вправо (против оси OY). Сдвиг интерференционной картины

δy	= bδϕ =	bδS	=12 мм .	(7)

		r

3. Расстояние δу' между двумя максимумами одного порядка от двух интерференционных картин, полученных от линейных источников, расположенных на краях щели, должно удовлетворять условию

	δy′ ≤			∆y
	δy′ ≤			2 .	(8)
Рассчитав δу' по формуле, аналогичной (7), получим
	δy′ =			ab
	δy′ =			r ,	(9)
где а – ширина щели.
Подставим выражения (6) и (9) в (8):
	ab	≤	(b + r)λ		,
	r	≤	4αr		,
	r		4αr
откуда
amax =	(b + r)λ			= 0,043 мм .
amax =	4αb			= 0,043 мм .
	4αb

Задача 21.4

Свет с длиной волны λ = 0,55 мкм падает на поверхность стеклянного клина под углом i = 15° (рис. 7). Показатель преломления стекла n = 1,5, угол при вершине клина α = 1´. Найти расстояние между двумя соседними минимумами при наблюдении интерференции в отражённом свете. Как изменится интерференционная картина, если клин освещать рассеянным светом той же длины волны? Рассчитать расстояние от вершины клина, на

Рис. 7

котором при угле падения i = 15° интерференционные

полосы начнут исчезать, если степень немонохроматичности света ∆λ/λ = 0,01.

АНАЛИЗ

По условию, на стеклянный клин падает плоская волна, которую в первом приближении можно считать монохроматической. При попадании на любую прозрачную пленку свет частично проходит сквозь нее и частично отра-

жается как от её нижней, так и от верхней поверхности.
Световые пучки, отражённые от этих двух поверхностей (на
рис. 8 показаны осевые лучи 1 и 2 этих пучков), приобрета-
ют разность хода, которая зависит от толщины пленки, её
показателя преломления и угла падения света. По условию
толщина d пленки при угле скоса клина α = 1' всюду мала,	Рис. 8
относительно мал и угол падения i лучей. Это позволяет

считать, что интерференционная картина при рассмотрении её в отражённом свете локализована на верхней поверхности клина. В частности, это позволяет использовать для расчета разности хода лучей схему, изображённую на рис. 8.

При отражении от верхней поверхности, т. е. от оптически более плотной среды, происходит изменение фазы волны на π, что соответствует изменению разности хода на λ/2. Таким образом, оптическая разность хода между лучами 1 и 2, отразившимися от

нижней и верхней поверхностей клина,
∆12 = f (d, n,i)+	λ	,	(1)
	2

где f(d, n, i) – некоторая функция толщины плёнки, её показателя преломления и угла падения лучей.

При освещении параллельным пучком монохроматического света интерференционная картина – форма и размеры светлых или тёмных полос – зависит только от профиля самой плёнки. Очевидно, что в данном случае картина представляет собой чередование тёмных и светлых полос, параллельных ребру клина. Каждая полоса является множеством точек, для которых толщина стеклянного клина одинакова.

Для того чтобы выражение (1) записать в явном виде, рассмотрим ход лучей 1 и 2. Разность расстояний, проходимых ими, (AC + CB) – KB. Оптическая разность хода с учётом потери полуволны при отражении от верхней поверхности клина равна

					∆12 = (AC + CB)n − KB + λ .
								2
	Легко видеть,		что		AC =	CB =	d/cos r;	KB = 2d	sin i tg r. Тогда
∆12	=	2d(n −sin isin r)	+	λ	. Учитывая, что sin r = (sin i)/n и cos r =				n2 −sin 2 i	, получаем
∆12	=	cos r	+	2	. Учитывая, что sin r = (sin i)/n и cos r =				n	, получаем
		cos r		2					n
					∆12	= 2d	n2 −sin 2 i +	λ .		(2)
								2

Так как интерференционная картина образуется при зеркальном отражении света от обеих поверхностей клина, то при освещении его параллельным пучком наблюдение интерференционных полос возможно только при рассмотрении верхней поверхности клина под определённым углом зрения, зависящим от угла падения i. Если падающий свет рассеянный, то отражение будет происходить под разными углами. При определённом угле зрения глаз как бы выбирает интерференционные полосы, образованные лучами, падающими на клин под определённым углом i. Поэтому изменение угла зрения соответствует изменению угла I в уравнении (2).

При относительно большой толщине клина начнёт сказываться заданная немонохроматичность света. Если свет не является монохроматическим, то интерференционные картины, соответствующие различным длинам волн, накладываются друг на друга,

врезультате чего интерференционная картина может стать неразличимой.

Вусловии не оговорено, каков характер немонохроматичности падающего света: сплошная полоса, длины волн в которой лежат в пределах от λ до λ + ∆λ, или две тонкие линии с длинами волн λ и λ´ = λ + ∆λ. Если вести расчёт для второго случая, то интерференционная картина начнёт исчезать, когда расстояние между максимумами одного порядка для длин волн λ и λ´ окажется больше половины ширины интерференционных полосы, рассчитанной для λ. Это означает, что интерференционная картина ещё разли-

чима, если максимум m-го порядка для λ´ (рис. 6, пунктирная кривая) располагается в середине между максимумами m-го и (m + 1)-го порядка для λ, т. е. совпадает с минимумом m-го порядка для λ. Интерференционная картина начнёт исчезать (расплываться), если максимум m-го порядка для λ´ окажется ближе к максимуму (m + 1)-го порядка для λ.

РЕШЕНИЕ

Для расчёта расстояния между соседними тёмными полосами найдём толщину клина, соответствующего таким полосам. Условия минимумов m-го и (m + 1)-го порядков [см. (2)] можно записать в виде

2dm	n2 −sin 2 i +	λ	= (2m +1)λ		,
		2		2		(3)
			λ	= (2m + 3)λ		(3)
2dm+1	n2 −sin 2 i +		λ	= (2m + 3)λ		,
			2		2

где m = 1, 2, … (при m = 0 d0 = 0 – тёмная полоса по ребру клина). Вычтем одно выра-

жение из другого и разделим правую и	левую части полученного уравнения на
2 n2 −sin 2 i :
dm+1 − dm = h =			λ	.
dm+1 − dm = h =	2	n2	−sin 2 i	.
	2	n2	−sin 2 i

Как видно из рис. 7, h = ∆s sin α. Тогда расстояние между соседними тёмными по-

лосами
∆s =	h	=	λ	= 0,64 мм.
	sinα	2sinα	n2	−sin 2 i

Предельное условие различимости интерференционной картины заключается в том, что максимум m-го порядка для λ´ (рис. 6, пунктирная кривая) совпадает с минимумом m-го порядка для λ. Светлая полоса m-го порядка для λ´ удовлетворяет условию

′		2	2	λ′		′
′	n		−sin i +		= mλ	′	.	(4)
2dm	n		−sin i +	2	= mλ		.	(4)
				2

Тёмная полоса m-го порядка для длины волны λ удовлетворяет первому из уравне-

′		′	из уравнений (3) и (4) и приравняем их
ний (3). По условию, dm = dm . Найдём dm и dm			из уравнений (3) и (4) и приравняем их
друг другу:
	1
m −	2	(λ + ∆λ)= mλ ,
	2

откуда m =	λ ∆λ +1	. Если	λ	>>1 , то m =	λ	. Подставив это выражение в первое из
	2		∆λ		2∆λ

уравнений (3), найдём, что наибольшая толщина клина, при которой интерференционная картина еще различима, равна

		dmax =	λ	λ	,
			2∆λ 2 n2 −sin 2 i
откуда
smax =	dmax	=	λ		= 32 мм .
smax =	sinα	=		n2	= 32 мм .
	sinα	4(∆λ λ)sinα		n2	−sin 2 i

На расстоянии s > smax интерференционная картина исчезает.

Если падающий свет содержит длины волн, непрерывно изменяющиеся от λ до λ + ∆λ, то такую сплошную полосу можно представить как две линии шириной ∆λ/2 каждая, смещённые друг относительно друга на ∆´λ = ∆λ/2. Тогда, используя уже полученные выражения, найдём smax = 64 мм.

Задача 21.5

На плоскопараллельную плёнку с показателем преломления n = 1,3 падает нормально параллельный пучок белого света. При какой наименьшей толщине плёнка будет наиболее прозрачна для света с длиной волны λ1 = 0,60 мкм (жёлтый цвет)? При какой наименьшей толщине плёнка наиболее прозрачна одновременно для света с длинами волн λ1 и λ2 = 0,50 мкм (голубой цвет)?

АНАЛИЗ
При попадании на плёнку свет частично проходит
сквозь неё, частично отражается от её поверхности. Наблю-
дение ведётся в проходящем свете. В этом случае интерфе-
рируют две волны, одна из которых проходит через плёнку
без отражения, вторая – испытав отражения на обеих по-
верхностях плёнки (рис. 9, лучи 1 и 2)1. Результат интерфе-
ренции в точке L зависит от оптической разности хода, ко-	Рис. 9

торая в случае нормального падения лучей имеет	вид
∆12 = 2dn .	(1)

1 На рисунке для наглядности угол падения лучей не равен нулю.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: