Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Треугольники ВСМ и BCF прямоугольные, и с учётом выражения (1) можно записать

где r – искомый радиус отверстия. Раскрывая скобки и пренебрегая членами, содержащими х2, λ2 и хλ, как малыми величинами второго порядка, получим

Уравнения (2) составляют систему относительно неизвестных х и r. При совместном решении этой системы находим

r = dkλ−dff .

Если k = 1, то радиус отверстия r = 0,90 мм.

Задача 21.8

Плоская монохроматическая волна интенсивности I0 падает нормально на плоскую диафрагму Д (рис. 14) с круглым отверстием радиуса r. На каком расстоянии от диафрагмы следует расположить экран наблюдения Э, чтобы для точки М экрана, лежащей на одном перпендикуляре с центром С отверстия последнее включало одну зону Френеля? Какова интенсивность света в этом случае в точке М? Как изменится интенсивность, если закрыть

половину площади отверстия (центральную часть или по Рис. 14 диаметру)? Длина волны падающего света λ.

АНАЛИЗ

Если на диафрагму с отверстием падает световая волна, то для расчета дифракционной картины свободную часть фронта падающей волны следует разбить на зоны Френеля – участки, крайние виртуальные источники которых посылают в точку наблю-

дения волны с разностью фаз ΘΦ = π, т. е. с разностью хода ∆Ц = λ2 . Если всё простран-

ство между отверстием диафрагмы й экраном наблюдения однородно, то разность хода равна разности расстояний от крайних виртуальных источников зоны до рассматриваемой точки экрана наблюдения. По условию, падающая волна плоская, точка M лежит

на перпендикуляре, восставленном из центра отверстия, поэтому первая (центральная) зона Френеля представляет собой круг с центром в точке С, все последующие зоны – плоские концентрические кольца. Расстояние от крайней точки В первой зоны, совпадающей в данном случае с отверстием в диафрагме, до точки М больше, чем расстоя-

Так как интенсивность волны, приходящей в какую-либо точку пространства, прямо пропорциональна квадрату амплитуды волны, приходящей в эту же точку пространства, то для расчета интенсивности следует провести геометрическое построение, которое позволило бы найти амплитуду А1 результирующего колебания, приходящего в точку M от всех виртуальных источников первой зоны, и амплитуду А0 результирующего колебания при отсутствии диафрагмы (т. е. когда число открытых зон Френеля k → ∞). Разобьём первую зону на отдельные равные элементы, настолько малые, чтобы все виртуальные источники такого элемента посылали в точку М волны в одной фазе. Это возможно, если все точки этого элемента равноудалены от точки М. Такими элементами можно считать тонкие кольца толщины ∆r с центром в точке С. Пусть θ1 – разность фаз между волнами, приходящими в точку М от соседних колец, ai – амплитуда результирующей волны, посылаемой одним кольцом. Тогда, используя векторный метод сложения гармонических колебаний, можно найти результирующую амплитуду в точке М от первой зоны. Однако результат будет тем точнее, чем тоньше каждое из рассматриваемых колец. В пределе ∆r → 0, а число таких элементарных колец m → ∞.

так как крайние элементарные кольца соответствуют крайним виртуальным источникам одной зоны;

где L1 – результирующая амплитуда, которая получилась бы, если бы волны от всех элементарных колец первой зоны пришли в некоторую точку пространства без сдвига по фазе. Следовательно, при суммировании всех элементарных векторов ai, каждый из которых стремится к нулю, получится полуокружность, длина которой L1. Если

считать, что начальная фаза колебаний, приходящих в точку М от центра первой зоны, равна нулю, то окружность будет располагаться так, как на рис. 15а, результирующая амплитуда А1 равна диаметру этой полуокружности. Если проделать подобное построение для второй зоны, то вновь получится полуокружность, располагающаяся так, как показано на рис. 15а пунктиром. Длина этой второй полуокружно-

сти L2 < L1. Аналогичный результат будет для любой другой зоны, причём полуокружности, соответствующие чётным и нечётным зонам, будут располагаться так же, как L2 и L1 соответственно. Чем больше номер зоны, тем меньше длина соответствующей полуокружности. Согласна теории Френеля, амплитуда вторичных волн, излучаемых виртуальными источниками, прямо пропорциональна косинусу угла между нормалью к фронту волны и лучом, идущем от виртуального источника к точке наблюдения. Чем больше номер зоны, тем больше этот угол. Изменением амплитуды в пределах одной зоны можно пренебречь.

Подобные построения позволят найти амплитуды Аi результирующих колебаний в точке М в зависимости от площади и формы отверстия в диафрагме.

Если закрыть часть отверстия так, что отверстие окажется меньше первой зоны Френеля, то разность фаз Θ между крайними виртуальными источниками, располагающимися в центре и по внешней границе зоны, меньше π. При векторном построении получится только часть дуги полуокружности. Центральный угол, соответствующий этой дуге, равен Θ. Длина хорды, стягивающей дугу, равна амплитуде результирующего колебания. Если, наоборот, закрыть центральную часть отверстия так, что открытым останется кольцо, концентричное отверстию, то при векторном построении получится оставшаяся часть полуокружности, по которой можно найти фазу и амплитуду результирующего колебания. Зная амплитуды, можно найти соответствующие интенсивности

I, так как в любом случае Ii ~ Ai2 .

РЕШЕНИЕ

Используем равенство (1) и теорему Пифагора для ∆ВСМ:

откуда, пренебрегая λ2/4 как малой величиной второго порядка, получим

d = r12 .

λ

При полностью открытом волновом фронте построение приводит к спирали, по-

где А1 – амплитуда результирующего колебания при условии, что радиус отверстия равен радиусу первой зоны.

Падающая волна – плоская. Это значит, что интенсивность света, приходящего в точку М без диафрагмы, равна интенсивности I0 падающей волны.

При диафрагме, отверстие которой совпадает с первой зоной, интенсивность [см.

(4)]

I = 4I0 .

Если закрыть центральную часть отверстия, то это равнозначно тому, что на рис. 15а останется только верхняя половина дуги L1, и результирующая амплитуда

A1 2 = A21 . Тогда

I12 = I21 = 2I0 .

Если закрыть внешнюю половину первой зовы, то результирующая амплитуда колебаний в точке М не изменится. Изменится только начальная фаза ψ результирующего колебания (рис. 15a, пунктир).

Если закрыть половину первой зоны по диаметру, то амплитуда волны, испускае-

мой открытой половиной каждого элементарного кольца, ai′ = a2i , тогда

lim mai′ = L1 .

m→∞ 2

Фазовые соотношения при этом не изменяются. Следовательно, векторное построение даёт полуокружность, длина которой L´ = L1/2. Соответственно результирующая амплитуда равна диаметру этой полуокружности:

A1′2 = A21 .

Интенсивность света в точке наблюдения

I1′2 = I41 = I0 .

Задача 21.9

Плоская монохроматическая волна (длина волны λ = 0,60 мкм) падает на диафрагму Д с узкой щелью ширины b = 0,04 мм (рис. 16а). За щелью находится собирающая линза L (фокусное расстояние f = 40 см), в фокальной плоскости которой расположен экран наблюдения Э. Найти положения минимумов первого и второго порядков на экране и относительную интенсивность первого максимума. Построить график распределения интенсивности в дифракционной картине.

ский фронт, повёрнутый по отношению к фронту падающей волны на некоторый угол φ – угол дифракции. В падающей волне колебания во всех точках фронта происходят в одинаковой фазе. Вдоль фронта дифрагированной волны фаза от точки к точке изменяется, и для точек А и В (рис. 16б) разность фаз

Эта разность фаз, однозначно определяемая углом дифракции φ, сохраняется вплоть до соответствующей точки экрана. Тонкая линза не изменяет фазы проходящей через неё волны.

Для того чтобы найти условия минимума или максимума, не проводя расчёта зависимости интенсивности света от угла дифракции, разобьём щель на зоны Френеля. В данной схеме зоны эти имеют форму тонких полос, расположенных вдоль щели, ширина их, очевидно, зависит от угла дифракции. Минимум будет наблюдаться, если в щель уложится чётное число зон Френеля. В этом случае разность фаз Θ – разность фаз между волнами, идущими от крайних виртуальных источников щели, – должна быть равной четному числу π. Поэтому условие минимума для щели [см. (1)] имеет вид