Материал: МЭИ(ТУ) Физика

где φm – угол дифракции, соответствующий минимуму m-го порядка. При дифракции Фраунгофера в точках, соответствующих минимуму интенсивности, волны, приходящие от соседних зон Френеля, гасят друг друга полностью, так как вследствие параллельности лучей амплитуды их одинаковы.

При наблюдении под углом φ = 0 имеет место центральный максимум (волны от всех виртуальных источников щели имеют одинаковую фазу). Приближённое условие максимума k-го порядка:

В этом случае в щели укладывается 2k + 1 зон Френеля. Выражения (2) и (3) при известном фокусном расстоянии линзы позволят найти положения минимумов и максимумов на экране. Для оценки интенсивностей следует провести геометрическое сложение колебаний, приходящих в некоторую точку экрана, которое позволит найти амплитуду Аφ результирующего колебания в некоторой точке экрана, соответствующей углу дифракции φ.

Разобьём для этого щель на z очень узких элементарных полосок ширины ∆b каждая. При достаточно малых значениях ∆b можно считать, что все виртуальные источники одной элементарной полоски излучают волны, которые при заданном угле φ подходят к линзе без разности хода. Так как тонкая линза не изменяет фазы проходящих через неё волн, эти волны придут к соответствующей точке экрана также без сдвига по фазе. Обозначим αi разность фаз между волнами от двух соседних элементарных полосок; ai – амплитуду результирующей волны, излучаемой одной полоской. Очевидно, результат векторного сложения будет тем точнее, чем меньше ширина ∆b каждой элементарной полоски и соответственно чем больше число z таких полосок. В пределе при ∆b → 0 число z → ∞. В этом случае

lim zαi = И = 2λрbsinϕ ,

z→∞

где Θ – разность фаз между волнами, излучаемыми виртуальными источниками, расположенными по краям щели;

lim zai = A0 ,

z→∞

где A0 – результирующая амплитуда колебаний, которая имела бы место, если бы волны от всех виртуальных источников приходили в некоторую точку экрана без разности фаз.

В данной схеме такой точкой является точка О, совпадающая с главным фокусом линзы. В точке О собираются лучи, параллельные оптической оси линзы, для которых угол дифракции φ = 0.

При векторном сложении колебаний, когда каждый из «изображающих» векторов стремится к нулю, получим плавную кривую, имеющую форму дуги окружности; её длина L = A0, где A0 – результирующая амплитуда в точке О экрана; соответствующий этой дуге центральный угол равен Θ (рис. 17). Искомая амплитуда Aφ – хорда, стягивающая эту дугу.

Для расчета Aφ рассмотрим ∆COD. Очевидно,

OD = A2ϕ = r sin И2 .

Радиус окружности r = L/Θ. Тогда

sin 2 И

Aϕ = A0 ( )2 ,

И 2 2

где A0 – амплитуда результирующего колебания в точке x = 0 экрана. Учитывая, что ин-

тенсивность I ~ Aϕ2 , получим

sin 2 И

I = AI0 (И 2)22 , (4)

где I0 ~ A02 – интенсивность центрального максимума; Θ = (2π/λ) b sin Θ – разность фаз между волнами, приходящими в данную точку экрана от крайних виртуальных источников на щели.

Как следует из выражения (4), I = 0, если sin (Θ/2) = 0, т. е. Θ/2 = mπ. где m = 1, 2, 3,

... или Θ = 2mπ. Учитывая выражение (1), получим условие минимума, совпадающее с

(2): b sin φ = mλ.

Значения угла φ, при которых интенсивность максимальна, можно рассчитать, как обычно, найдя dI/dΘ и приравняв эту производную нулю. Полученное уравнение не

имеет точного решения. Числовой метод дает значения угла φ дифракции, близкие к условию (3), поэтому, как уже указывалось, это условие является приближенным.

РЕШЕНИЕ

В точку x = 0 – главный фокус линзы – приходят лучи, идущие под углом φ = 0, т. е. в этой точке находится центральный максимум. Координата любой точки на экране, в которую приходят лучи с углом дифракции φ,

x = f tgϕ . (5)

Для минимумов 1-го и 2-го порядков угол φ удовлетворяет условию (2) (m1 = 1 и m2 = 2)

sinϕ1 = λb = 0,015 и sinϕ2 = 2bλ = 0,030 .

Полученные значения синусов настолько малы, что можно считать sin φ = tg φ. Тогда по формуле (5) координаты минимумов 1-го и 2-го порядков

x1 = ±6 мм и x2 = ±12 мм.

Положение максимума 1-го порядка также может быть определено из равенств (5)

и (3) при k = 1:

sinϕ1′ = 32λb ; x1′ = ±9 мм.

Для того чтобы определить относительную интенсивность первого максимума, используем выражение (4). Подставив условие (3) при k = 1 в (1), получим Θ1 = 3π, откуда

[см. (4)]

График распределения интенсивности показан на рис. 18.

Задача 21.10

На дифракционную решётку падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости решётки. Общее число штрихов решётки N = 1000, период d = 5,1·10–3 мм. Падающий свет содержит две длины волны: λ1 = 4600 Å и λ2 = 4602 Å. Начиная с какого порядка спектра эти линии будут разрешены? Определить угол дифракции найденного порядка спектра. Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с помощью такой решётки? Наблюдение дифракционной картины ведётся в параллельных лучах с помощью соответствующей оптической системы.

АНАЛИЗ

Для того чтобы наблюдать дифракционную картину в параллельных лучах, следует расположить экран наблюдения бесконечно далеко от решётки либо за решёткой поместить линзу с фокусным расстоянием f, а экран наблюдения –

в её фокальной плоскости (рис. 19а). В этом случае в каждую точку экрана будут приходить вторичные волны, образующие за решёткой плоский фронт, повёрнутый по отношению к фронту падающей волны на определённый угол φ дифракции. Углы дифракции, для которых волны, излучаемые всеми щелями, будут усиливать друг друга, соответствуют главным максимумам. Благодаря периодичности решётки достаточно найти условия, при которых волны, излучаемые двумя соседними щелями, усиливают друг друга. Это происходит тогда, когда разность хода между осевыми лучами волн, излучёнными соответ-

ственными виртуальными источниками соседних щелей Рис. 19 (рис. 19б), равна целому числу длин волн:

Период решётки d, как видно из рисунка, равен суммарной ширине щели и непрозрачного промежутка.

Так как каждая щель даёт наиболее интенсивное излучение для углов дифракции φ < arcsin (λ/b) (см. задачу 21.9), где b – ширина щели, в оптических дифракционных рёшетках ширина а непрозрачного промежутка несоразмерна b и всегда a > b.

Условие минимумов при дифракции на решётке имеет вид

где k ≠ N, 2N и т. д.; N – общее число штрихов. Это условие легко может быть получено векторным методом сложения гармонических колебаний, излучаемых каждой щелью и соответствует такой разности фаз Θ = (2π/λ)∆, при которой «изображающие» векторы образуют замкнутый многоугольник (см. задачу 21.6).

Как видно из сравнения условий (1) и (2) между двумя главными максимумами располагается N – 1 минимумов и столько же побочных максимумов. Каждый главный максимум, следовательно, имеет некоторую конечную ширину – расстояние между ближайшими минимумами, располагающимися справа и слева от него. Так, например, значения k = ±1 в условии (2) соответствуют минимумам, ограничивающим центральный максимум [m = 0 в условии (1)]; k = N – 1 и k = N + 1 соответствуют минимумам, ограничивающим первый главный максимум (m = 1).

Максимумы двух близких по длине волн могут перекрываться. Принято считать, что две длины волны разрешены, если расстояние между их максимумами одного порядка не меньше, чем расстояние от максимума данного порядка одной длины волны до ближайшего к ней минимума той же длины волны. Данное условие разрешения с учётом выражений (1) и (2) позволяет ответить на поставленные вопросы.

РЕШЕНИЕ

Волны с длинами λ1 и λ2 можно считать разрешёнными, если максимум m-го порядка для волны λ2 совпадает с минимумом для волны λ1, ближайшим к её максимуму того же m-го порядка. Для волны λ2 положение m-го максимума [см. (1)]

sinϕm = mdλ2 .

Минимумы для λ1, ближайшие к её максимуму того же m-го порядка [см. (2)],

Так как λ2 > λ1, надо, чтобы угол φm совпадал с углом φ´´. Тогда mλ2 = (mN + 1)λ1/N или m(λ2 – λ1) = λ1/N, откуда искомый порядок спектра