Материал: МЭИ(ТУ) Физика

нитная проницаемости среды. Если считать относительную магнитную проницаемость разреженной плазмы близкой к единице, то задача сводится к нахождению зависимости ε(ω). Диэлектрическая проницаемость характеризует свойства среды по отношению к электрическому полю. Формально электрические свойства среды могут быть охарактеризованы вектором поляризации P, равным отношению дипольного момента некоторого объёма диэлектрика к этому объёму. Если вектор поляризации прямо пропорционален напряженности Е электрического поля, то коэффициент пропорциональности α определяет диэлектрическую проницаемость среды:

Таким образом, для того чтобы найти характер зависимости ε(ω), необходимо выяснить, что происходит в плазме при прохождении электромагнитных волн. Разреженная плазма представляет собой в первом приближении совокупность свободных электронов и положительных ионов. При отсутствии полей плазму можно считать электрически нейтральной, концентрации положительных ионов и электронов одинаковы в любом достаточно малом, но макроскопическом объёме.

Рассмотрим действие электрического поля электромагнитной волны на свободные электроны в предположении, что взаимодействием электронов между собой и с ионами можно пренебречь. Действие магнитного поля волны можно не учитывать. Из соотно-

шения между амплитудными значениями напряжённостей полей ( ε0ε E0 = µ0 µH0 )

легко показать, что отношение максимальных сил fмагн/fэл = ue/c, где ue – скорость движения электронов.

Если электроны совершают колебательное движение, то создаваемое ими поле, аналогично полю колеблющихся диполей и вектор поляризации можно найти как

P = p0 N0 ,

где p0 – некоторый средний изменяющийся со временем электрический момент диполя, соответствующий движению одного электрона; N0 – концентрация электронов.

Для того чтобы найти характер зависимости p0(ω), рассмотрим движение электрона под действием электрического поля падающей волны.

Если пренебречь изменением фазы волны на расстояниях, малых по сравнению с длиной падающей волны, то напряжённость электрического поля, воздействующего на электрон,

E = E0 cosωt .

где me и е – масса и заряд электрона. Знаки векторов в уравнении (5) опущены, так как предположено, что падающая волна плоскополяризована и вектор E колеблется только в одном направлении, например, вдоль некоторой оси x. Такое же направление сохранит и вектор ускорения a = due/dt.

Умножим обе части уравнения (5) на dt/me и произведём интегрирование в пределах от t = 0 (ue = 0), т. е. от начала действия электромагнитной волны, до произвольного момента t (скорость электрона примет некоторое значение ue):

ue t

0me ∫0 cosωtdt .

Врезультате интегрирования получим выражение для скорости электрона:eE

ue = dx = eEω0 sinωt . dt me

Пусть в момент t = 0 координата электрона х0, тогда

где еЕ0/(mеω2) – некоторое постоянное смещение электронов при прохождении электромагнитной волны. Очевидно, что появление такого смещения обозначает нарушение электрической нейтральности плазмы, но так как это смещение не зависит от времени, то оно не изменит фазовой скорости волны. Слагаемое x0 следует отбросить, так как вследствие нейтральности плазмы до воздействия электромагнитной волны при усред-

нении по всем свободным электронам оно обратится в нуль. Таким образом, искомый дипольный момент р0 = ex(t) определяется только последним членом выражения (6):

Благодаря сделанному ранее предположению о том, что падающая волна плоскополяризована, последнее равенство можно записать в векторном виде:

p0 = − e2E2 .

meω

Тогда [см. (4)] вектор поляризации

P = − e2 N0E

meω2

и на основании (2) и (3)

РЕШЕНИЕ

Подставив выражение (7) в (1), найдём фазовую скорость как функцию циклической частоты, т. е. закон дисперсии:

Из этого выражения очевидно, что в данной среде фазовая скорость электромагнитных волн больше скорости света в вакууме.

Следует помнить, что весь вывод основывается на приближённой модели, согласно которой разреженная плазма представляет собой совокупность положительных ионов и электронов, не взаимодействующих между собой.

Предположение о плоскополяризованной волне не принципиально и введено только для упрощения расчета. Пренебрежение взаимодействием волны с ионами также несущественно, так как дипольный момент, обусловленный колебаниями ионов, пренебрежимо мал вследствие очень большой массы ионов по сравнению с массой электронов.

Полученное выражение фазовой скорости хорошо согласуется с опытом в большом диапазоне частот – от видимого света до радиоволн (ω > 108 с–1).

Задача 22.4

На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает под углом Брюстера iБр узкий пучок естественного света. Коэффициент отражения ρ = 0,080. Найти степень поляризации света, прошедшего через пластинку.

АНАЛИЗ

Степень поляризации частично поляризованного света

где Imax, Imin – максимальная и минимальная интенсивности плоскополяризованных

дения (т. е. плоскости, проходящей через луч падающий и луч отражённый). Световой пучок, прошедший через верхнюю поверхность пластинки (луч 2), содержит волны, в которых вектор Е колеблется в плоскости падения Е|| (на рисунке обозначены черточ-

ками), и волны, в которых вектор Е колеблется нормально плоскости падения Е (на рисунке обозначены точками). Так как луч 2 падает на нижнюю поверхность пластины тоже под углом Брюстера, то луч 3, отражённый от неё, также полностью поляризован. Свет, прошедший через обе поверхности (луч 4), поляризован частично. Суммарная ин-

тенсивность этого пучка складывается из интенсивности I||(4) волн, в которых вектор Е колеблется в плоскости падения, и интенсивности I (4) волн, в которых вектор Е колеб-

лется нормально плоскости падения. (Здесь и в дальнейшем верхний цифровой индекс соответствует номеру светового пучка.) Так как пучки 1 и 3 содержат только волны, в

которых вектор Е колеблется нормально плоскости падения, очевидно, что I||(4 ) > I (4 ) .

Поэтому

Imax(4 ) = I||(4 ) , Imin(4) = I (4).

Интенсивность волн, в которых вектор Е лежит в плоскости падения, при условии прозрачности пластины и падения света под углом Брюстера не изменяется при прохождении через пластину, поэтому

Согласно теории Френеля, отношение интенсивности отражённого света к интенсивности падающего для выбранного направления колебаний вектора E (в данном слу-

чае для E ) зависит только от суммы (либо разности) углов падения и отражения. Так как данная пластинка плоскопараллельная, условия отражения на верхней и нижней гранях одинаковы, поэтому с учётом выражения (5)