Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Раздел 10

товое число нижнего состояния; 8) v = 34 McW1 , где M – масса атома,

∆λ = Mv − 4 hc . h 3 W1

§ 22. Взаимодействие света с веществом

Задачи этого параграфа охватывают прежде всего явления дисперсии и поляризации. При изучении первого из этих явлений следует помнить, что применяемые формулы – и законы дисперсии, и выражение для групповой скорости u = dω/dk – справедливы только в узком диапазон длин волн. Более того, само понятие групповой скорости – скорости распространения огибающей волнового пакета – имеет смысл до тех пор, пока деформация волнового пакета незначительна. Это означает, что волновой пакет содержит гармонические волны в диапазоне длин волн от λ до λ + ∆λ, где ∆λ << λ, и что дисперсия мала.

Задачи, связанные с явлением поляризации (поляризация при отражении и прохождении света через одноосные кристаллы), имеют феноменологический характер. Ни формулы Френеля, ни построения волновых поверхностей в кристалле не рассматриваются.

Кроме того, в задачах данного параграфа затрагиваются вопросы, которые обычно относят к квантовой оптике, – давление света и фотоэффект.

Задача 22.1

Вычислить групповую скорость: 1) поперечных упругих вели в стержне, фазовая скорость которых v = а/λ (а = const); 2) электромагнитных волн в разреженной плазме,

АНАЛИЗ

Если среда обладает дисперсией, т. е. фазовая скорость волн зависит от циклической частоты ω (или от длины волны λ), то независимо от природы волн групповая скорость отлична от фазовой и может быть рассчитана как

где k = 2π/λ – волновое число. Если задан закон дисперсии, т. е. v = v(λ) или v = v(ω), то выражение для групповой скорости можно найти, используя соотношения между фазовой скоростью, длиной волны и циклической частотой:

РЕШЕНИЕ

1. Закон дисперсии задан как v = v(λ). Преобразуем правую часть выражения (1):

Используя выражения для волнового числа и первую из формул (2) и производя

Полученный результат показывает, что в данном случае групповая скорость, т. е. скорость распространения волнового возмущения (волнового пакета), больше фазовой скорости.

Под фазовой скоростью v в выражении (4) можно понимать среднюю фазовую ско-

Групповая скорость равна скорости распространения энергии, переносимой данным волновым пакетом, и не может превышать скорости света c в вакууме. Следовательно, выражение (8) имеет смысл, если в выражении (7) коэффициент А < 0, т. е. фазовая скорость распространения волн v > с.

Задача 22.2

Показатели преломления сероуглерода для света с длинами волн λ1 = 5090 Å,

λ2 = 5340 Å, λ3 = 5740 Å соответственно равны n1 = 1,647; n2 = 1,640; n3 = 1,630. Найти фазовую скорость для λ2 и групповую скорость вблизи неё.

АНАЛИЗ

Фазовые скорости для каждой заданной длины волны могут быть найдены по формуле

Для нахождения угловой скорости надо знать закон дисперсии. Общее выражение

По условию, групповая скорость должна быть выражена через показатель прелом-

Производная dn/dλ может быть найдена, если известна функция n(λ), либо графически по тангенсу угла наклона касательной к графику n(λ) в данной точке.

Для построения графика недостаточно трёх точек с заданными значениями n и λ. Поэтому задача может быть решена только приближенно. Если отношения

равны или незначительно отличаются друг от друга, то функцию n(λ) можно считать в диапазоне от λ1 до λ3 близкой к линейной. Тогда производная dn/dλ для λ = λ2, равна от-

ношению (4) либо среднему из двух значений. При значительном расхождении отношений (4) оценить групповую скорость по данным задачи невозможно.

РЕШЕНИЕ

Фазовая скорость для λ = λ2 [см. (1)]

v2 =1,83 108 мс .

Рассчитаем отношения (4):

n2 − n1 = −2,80 10−6 Å–1;

λ2 −λ1

n3 − n2 = −2,50 10−6 Å–1.

λ3 −λ2

Как видно, расхождение составляет около 11% и в качестве dn/dλ при λ = λ2 можно взять среднее:

dn dλ

Знак «–» показывает, что с ростом λ показатель преломления уменьшается, а фазовая скорость увеличивается (область нормальной дисперсии). Подставляя найденное значение dn/dλ, а также n = n2 и λ = λ2 в выражение (3), получим

u =1,7 108 мс .

Рассчитанная групповая скорость равна скорости волнового пакета, содержащего длины воли в интервале от λ2 до λ2 + ∆λ, где ∆λ << λ2.

Задача 22.3

Электромагнитная волна с циклической частотой ω распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме N0. Найти зависимость фазовой скорости электромагнитных волн в плазме от их частоты, если взаимодействием волны с ионами можно пренебречь.