9.9. Микрочастица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме U(r), где U(r) = 0, r < r0; U(r) = ∞,r > r0, r0 – радиус ямы. Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в состояниях с волновой функцией, зависящей только от r (в s-состояниях). Найти собственные значения энергии для электрона в яме с параметрами r0 = 100 Нм, U0 = 20 эВ.
Указание. В уравнении Шрёдингера разделить переменные, в уравнении для ради-
альной функции сделать подстановку ψ (r) = 1r ϕ(r) , уравнение для нахождения собст-
венных значений энергии решить графически.
9.10.Полагая, что электрон атома находится в сферически симметричном поле ядра
сзарядом Z, получить уравнение Шрёдингера для радиальной R(r) и угловой Y(θ, φ) части волновой функции. Уравнение R(r) для связанных состояний электрона в этом поле на больших и малых расстояниях от ядра.
9.11. В водородоподобном атоме электрон находится в потенциальном поле
U (r) = − |
Ζe2 |
, где Z – зарядовое число ядра, е – элементарный заряд, r – расстояние |
|
4рε0 r |
|||
электрона от ядра. Найти собственные значения энергии в s-состояниях (т. е. в состояниях, где волновая функция зависит только от r). Построить диаграмму уровней энергии.
Указание. Уравнение Шрёдингера для радиальной части волновой функции под-
становкой R(r) = |
e−βr |
ϕ(r) |
свести к уравнению вида y′′− 2βy′+ |
γ |
y = 0 (гипергеометри- |
r |
r |
ческое уравнение), которое имеет решение, удовлетворяющее требованиям к волновой функции, при 2βn = γ, n = 1, 2, …
9.12. Найти собственные значения энергии микрочастицы массой m в потенциаль-
ном поле с энергией U (x)= − |
U0 |
. Построить диаграмму уровней энергии электрона |
|||
ch 2 ax |
|||||
для a = 1010 1/м и U0 = 1 эВ, 5 эВ, 10 эВ. |
|||||
Указание. Для решения |
уравнения Шрёдингера сделать замену переменной |
||||
z = th ax и подстановку f = |
(1 – z)k/2ψ(z), |
которые сведут его к уравнению вида |
|||
x(1− x)y′′+(k +1)(1−2x)y′+(k − s)(k + s +1)y = 0 |
(гипергеометрическое уравнение), ре- |
||||
шение которого у(х) обладает свойствами, требуемыми от волновой функции, при ус-
ловии k − s = −n , n = 0, 1, ...
9.13. Ядра двухатомной молекулы взаимодействуют с энергией U(x) = A(e-2ax – 2e-ax). Построить график U(x) и диаграмму уровней энергии ядер моле-
кулы Н2 при а = 1010 1/м и A = 5 эВ. |
||||||||||||||||||||||
Указание. При решении уравнения |
Шрёдингера |
сделать |
замену |
переменной |
||||||||||||||||||
n + k |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
k |
2 |
|||||||||||||||||||
z = 2βе-ax и учесть, что уравнение y′′+ |
1 y′+ y |
− |
+ |
− |
= 0 имеет собствен- |
|||||||||||||||||
4 |
x |
x2 |
||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||
ные значения при n = 1, 2, ... |
||||||||||||||||||||||
9.14. Частица массой m находится в потенциальном поле U (x)= |
U1 |
U 2 |
||||||||||||||||||||
− |
. |
|||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
||||||||||||||||||||
1+ e a |
||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||
1+ e |
||||||||||||||||||||||
Найти уровни энергии дискретного спектра. Построить график U(x) и диаграмму уровней энергии для протона при a = 10–10 м; U1 = 7,5 эВ; U2 = 10 эВ. Определить, при каком условии частица имеет дискретный спектр.
Указание. Для решения уравнения Шрёдингера сделать замену переменной z = e–x/a
и подстановку ψ = (1− z)−ε z µϕ(z) и выбором параметров ε и µ свести уравнение Шрёдингера к уравнению вида x(1 − x) y′′ + [γ − (α + β +1)x]y′ −αβy = 0 , которое имеет дис-
кретные собственные значения при α = –n, n = 0, 1, ...
9.15. Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергию W, создан в одномерном потенциальном поле U(x) = 0, x < 0, U(x) = U0, x > 0 (потенциальная ступенька), причём а) W > U0 и б) W < U0. Действительная амплитуда падающей волны равна а1. Найти волновую функцию во всех точках пространства. Найти для электрона при
W = U0(1 ± 1/3), U0 = 2 эВ следующие величины: 1) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области x < 0, построить в масштабе график ρ(х); 2) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области x > 0, построить в масштабе график ρ(х); 3) коэффициент отражения потенциальной ступеньки; 4) коэффициент прозрачности потенциальной ступеньки; 5) плотность потока вероятности в области перед ступенькой; 6) плотность потока вероятности в области за ступенькой.
9.16. Частица массой m и энергией W движется слева направо в потенциальном поле U(x) = 0, x < 0, U(x) = –U0, x > 0, U0 > 0. Найти коэффициент отражения ступеньки в случаях: а) W >> U0 и б) W << U0.
Указание. Воспользоваться разложением Тейлора 1+ x =1+ |
x |
− |
x3 |
и |
1− x |
=1− 2x |
||
2 |
8 |
1 |
+ x |
|||||
при х → 0.
9.17. Найти коэффициент отражения частицы массой m с энергией W от потенци-
альной стенки, определяемой выражением U (x) = |
U 0 |
, причём W > U0. |
|||
1 + e−αx |
|||||
Указание. С помощью замены переменной ξ = -е-ах и подстановки ψ(x) =ξ −iλϕ(ξ) |
|||||
свести |
уравнение |
Шрёдингера |
к |
уравнению |
вида |
x(1− x)y′′+[γ −(α + β +1)x]y′− 2αβy = 0 (гипергеометрическое уравнение), |
решением |
||||
которого при γ ≠ 0, –1, ... является гипергеометрическая функция F(α, β, γ, x).
9.18. В одномерном потенциальном поле U(x) = U0, U0 = 2 эВ при x [0, l] и
U(x) = 0 при x [0, l] (потенциальный барьер) создан стационарный поток частиц,
имеющих массу m и энергию W, причём а) W > U0, l = 10 нм, W = 34 U0 и б) W < U0, l = 10 пм, W = 23 U0 . Действительная амплитуда падающей волны равна а1. Найти вол-
новую функцию во всех точках пространства. Найти для электрона следующие величины: 1) плотность вероятности пребывания частицы на границе барьера x = 0; 2) плотность вероятности пребывания частицы на границе барьера x = l; 3) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области за барьером (x > l); построить в масштабе график ρ(х); 4) коэффициент отражения потенциального барьера; 5) коэффициент прозрачности потенциального барьера.
10. АТОМ ВОДОРОДА
Атом водорода состоит из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. Водородоподобные ионы – это ионы, имеющие ядро с зарядом Ze и один электрон.
Основу квантовой теории атома Бора составляют следующие два постулата:
1.Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает электромагнитных волн. Стационарные состояния обладают определёнными значениями энергии, в общем случае дискретными. Из одного состояния в другое атом может переходить путём квантового (скачкообразного) перехода.
2.При квантовом переходе атома из стационарного состояния с энергией Wn в состояние с энергией Wm выполняется правило частот
hν =Wn −Wm .
Согласно модельной теории атома Бора движение электронов в стационарных условиях требует квантования момента импульса электрона на круговой орбите:
µvr = nh,
где µ – приведённая масса водородоподобного иона, v – скорость электрона на орбите
радиуса r. |
|||||
Энергия стационарного состояния |
|||||
Wn = − |
1 |
µZ 2e4 |
(n = 1, 2, ...). |
||
n2 |
8h2ε02 |
||||
Совокупность частот (или длин волн) образует спектр (спектр испускания или спектр поглощения). Для атома водорода с неподвижным ядром справедливо соотношение
1 |
= RZ |
2 |
1 |
− |
1 |
, |
||
λ |
m2 |
|||||||
n2 |
||||||||
где R = |
m |
e4 |
– постоянная Ридберга. При учёте движения ядра массой M постоян- |
|
e |
||||
8h3ε02c |
||||
ную Ридберга нужно заменить на R/(1 + me/M).
Линии в спектре атома водорода группируются в спектральные серии. В каждой спектральной серии n = const, а m = n + 1, n = 2, … В частности, n = 1, m = 2, 3, … соответствуют ультрафиолетовой серии Лаймана; n = 2, m = 3, 4, … – серия Бальмера, ли-
нии которой лежат в видимой области. В инфракрасной области лежат линии серии Пашена (n = 3, m = 4, 5, …), серии Брэкета (n = 4, m = 5, 6, …) и др.
Примеры решения задач
Пример 10.1
На какой боровской орбите атома водорода скорость электрона равна 734 км/с?
РЕШЕНИЕ
Согласно I постулату Бора mevr = nћ и согласно II закону Ньютона для частицы массой me на круговой орбите
m v2 |
= |
Ze2 |
, |
|
e |
||||
r |
4рε0 r 2 |
|||
где справа – кулоновская сила взаимодействия ядра и электрона. Исключая из этих уравнений r, получаем
v = |
1 |
h |
, |
|||||||
nm |
a |
0 |
||||||||
e |
||||||||||
где a0 – боровский радиус, откуда |
||||||||||
n = |
h |
= 3 . |
||||||||
m a |
0 |
v |
||||||||
e |
||||||||||
Проверим размерность: [n]= Дж с2 =1 . Итак, это третья боровская орбита. кг м2
Пример 10.2
Найти среднее квантовомеханическое обратное расстояние 1r в основном со-
стоянии водородоподобного атома.
РЕШЕНИЕ
Среднее квантовомеханическое значение физической величины f в состоянии со сферически симметричной волновой функцией ψ(r) равно
∞
f = ∫ψ f€ψ 4рr 2 dr .
0
В основном состоянии водородоподобного атома волновая функция имеет вид