Материал: МЭИ(ТУ) Физика

В этом уравнении, для того чтобы коэффициент при φ(u) был постоянным, должно выполняться условие

Учитывая, что λ определяется последним уравнением, найдём величину κ2 из усло-

вий

Например, для электрона в яме с параметрами U0 = 10 эВ и a = 0,1 нм энергия нижнего (n = 0) уровня равна 8 эВ (и это единственный уровень).

Пример 9.2

Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергию W, создан в одномерном потенциальном поле U(x): U(x) = U0 при x [0, l] и U(x) = 0 при x < 0, x > l (потенци-

альный барьер).

Показать, что в области x < 0 плотность потока вероятности складывается из плотности потоков вероятности падающих и отражённых частиц и вычислить её отношение к плотности падающего потока.

РЕШЕНИЕ

Плотность потока вероятности j частицы, описываемой волновой функцией ψ,

Волновая функция частицы в заданном потоке частиц есть решение стационарного уравнения Шрёдингера, которое в области x < 0 имеет вид

− 2h2 d 2ψ2 =Wψ . m dx

Решение должно быть непрерывной функцией с непрерывной производной, что определяет граничные условия.

Вводя обозначение 2mWh2 = k 2 , представим уравнение Шрёдингера в виде

d 2ψ2 + k 2ψ = 0 .

dx

Решение этого уравнения будем искать в виде

ψ = aeikx +be−ikx ,

где первое слагаемое соответствует падающим частицам, второе – отражённым от барьера (даже при W > U0 в отличие от классической механики).

Плотность потока

j = 2hmk (aa −bb ).

Найдем теперь плотность потока вероятности частиц в падающем потоке jпад = 2hmk aa

и в отраженном потоке jотр = − 2hmk bb , откуда j(x < 0) = jпад + jотр.

енты а и b в явном виде. Для этого используем условия непрерывности и гладкости волновой функции. Обозначим величины, относящиеся к области x < 0, индексом 1, к

области x [0, l] –индексом 2, и к области х > l – индексом 3. Тогда

Уравнение Шредингера в области x [0, l]

где κ2 > 0, k2 = iκ и коэффициенты в волновой функции следует выражать через κ2 и κ.

Задачи

9.1. Микрочастица массой m движется в пространстве, где имеется одномерная прямоугольная потенциальная яма шириной l с бесконечно высокими стенками: U(x) = 0, x = [0, l]; U(x) = ∞, x < 0, x > l. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней

энергии электрона в потенциальной яме шириной l = 100 пм. Найти и вычислить следующие величины: 1) плотность вероятности ρ(x) нахождения частицы в произвольном состоянии; построить в масштабе график ρn(x) для заданного n; 2) вероятность найти частицу с наименьшей энергией в каждой трети ямы; 3) вероятность найти частицу в произвольном состоянии в каждой половине ямы; 4) среднее значение координаты х и проекции импульса рх в произвольном состоянии; 5) среднеквадратичное отклонение

координаты ∆x = x2 − x 2 в произвольном состоянии; д) среднеквадратичное от-

9.2. Микрочастица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками: U(x, y) = 0, x = [0, l1], y = [0, l2]; U(x, y) = ∞, x < 0, x > l1, y < 0, y > l2. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней энергии электрона в яме с размерами: а) l1 = 100 пм, l2 = 400 пм; б) l1 = l2 = l = 100 пм. Найти и вычислить следующие величины: максимальную плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии; вероятность нахождения микрочастицы в основном состоянии в

Указание. При решении стационарного уравнения Шрёдингера для функции двух переменных воспользоваться методом разделения переменных, представив волновую функцию ψ(х, у) в виде ψ(х, у) = f(х)φ(у).

9.3. Микрочастица массой m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины рёбер ямы равны l1, l2, l3. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней энергии электрона в яме с размерами:

а) l1 = 100 нм, l2 = 200 нм, l3 = 400 нм; б) l1 = l2 = l3 = 100 нм.

9.4. Микрочастица с массой m и энергией Е находится в одномерной потенциаль-

Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы. Решая графически это уравнение, найти и вычислить первый дискретный уровень энергии электрона при l = 100 пм и заданных значениях U0.

9.5. Микрочастица массой m находится в одномерном потенциальном поле

U(x) = 0, x = [0, l]; U(x) = U0, x > l; U(x) = ∞, x < 0. Энергия частицы W = 12U0 . Найти нормированную собственную волновую функцию микрочастицы в этом состоянии. По-

U (x)= mω2 x2 (гармонический линейный осциллятор с классической собственной час- 2

тотой ω). Найти собственные значения энергии микрочастицы.

Указание. В уравнении Шрёдингера сделать замену переменной ξ = α x и подста-

чения параметра λ равны 2n + 1, n = 0, 1.

9.7. Найти собственные значения энергии двумерного осциллятора (микрочастицы

массой m в потенциальном поле U (x, y) = mω2 2 (x2 + y2 ) с классической собственной

частотой ω).

Указание. При решении уравнения Шрёдингера для ψ(x, y) воспользоваться мето-

дом разделения переменных и учесть, что в уравнении u + (λ2 + z2 )u = 0 собственные

значения параметра λ равны 2n + 1, n = 0, 1, ...

9.8. Частица массой m находится в сферически симметричном потенциальном поле U(r), где U(r) = 0, r < r0; U(r) = ∞,r > r0, r0 – радиус ямы. Найти нормированные собственные волновые функции, зависящие только от r ( то есть волновые функции s-состояний), и собственные значения энергии частицы. 1) Построить диаграмму уровней распределения плотности вероятности ρ(x) нахождения электрона в основном состоянии. 2) Найти вероятности пребывания электрона в основном состоянии в правой и левой половине ямы. 3) Найти средние значения r , r 2 и средний квадрат отклоне-

ния (r − r )2 .

Указание. При решении уравнения Шрёдингера провести разделение переменных и воспользоваться подстановкой ψ (r)= 1r ϕ(r).