Материал: МЭИ(ТУ) Физика

7.23.Найти работу выхода с поверхности некоторого металла, если при поочередном освещении его электромагнитным излучением с длиной волны λ1 = 0,35 мкм и λ2 = 0,54 мкм потенциалы задержки, при которых фототок прекращается, отличаются в

η= 4 раза.

7.24.При облучении фотокатода, изготовленного из металлического натрия, светом с частотами ν1 = 6,65·1014 с–1 и ν2 = 1,1·1015 с–1, значения задерживающих напряжений

оказались равными соответственно и1 = 1,20 В и и2 = 3,00 В. Найти из этих данных значения постоянной Планка h, работу А выхода электрона для натрия и «красную границу» λ0 фотоэффекта.

7.25.Катод вакуумного фотодиода освещается монохроматическим светом с длиной волны λ = 450 нм. Площадь катода s = 1 см2, интенсивность облучения I = 40 Вт/м2. Квантовый выход фотоэффекта (среднее число электронов, выбиваемых одним падающим фотоном) ηкв = 0,05. Найти ток насыщения, проходящий через диод.

7.26.Рентгеновская трубка работает под напряжением U = 30 кВ. Рентгеновское излучение получается в результате торможения электронов, разогнанных в трубке электрическим полем, при ударах об антикатод. Найти максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из цинкового катода (работа выхода А = 3,74 эВ) под действием рентгеновского излучения, полученного от этой трубки.

7.27.Металлический шарик радиуса R =1 см облучается ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ = 200 нм. В результате фотоэффекта шарик заряжается положительным зарядом до потенциала φ = 1,5 В. Найти работу выхода для металла, из которого изготовлен шарик, и его максимальный заряд.

7.28.Электроды вакуумного фотоэлемента (один цезиевый, другой медный) замкнуты снаружи накоротко. Цезиевый электрод (работа выхода А = 1,89 эВ) освещается монохроматическим светом. Найти: а) длину волны света, при котором появляется фототок в цепи фотоэлемента; б) максимальную скорость электронов, подлетающих к медному электроду, если длина волны света λ = 220 нм; в) скорость фотоэлектронов при условии, что к электродам приложено ускоряющее напряжение U = 2 В.

7.29.Рентгеновские лучи с длиной волны λ = 0,0707 нм испытывают комптоновское рассеяние. Найти изменение длины волны рентгеновских лучей и энергию электрона отдачи при рассеянии на 90° и на 180°.

7.30.Фотон рентгеновского излучения с длиной волны λ = 0,02 нм в результате

комптоновского рассеяния на покоящемся электроне отклоняется на угол θ = р2 . Найти

кинетическую энергию и импульс электрона отдачи. Показать на основе геометриче-

ских соображений, что при θ ≥ р2 импульс электрона отдачи по абсолютной величине

больше импульса падающего фотона.

7.31. Фотон в эффекте Комптона рассеялся на угол θ. Найти угол между направле-

нием первичного фотона и импульсом электрона отдачи. Расчёт выполнить для θ = р2 и

длины волны падающего излучения λ = 0,02 нм.

7.32. γ-квант частоты ν = 3·1022 c–1, столкнувшись с неподвижной частицей, начал двигаться под углом θ ≥ р3 к первоначальному направлению. При этом частота кванта

уменьшилась на ∆ν = 0,198·1022 с–1 (∆ν << ν). Найти массу этой частицы. Каким было бы изменение частоты при рассеянии γ-кванта на электроне?

7.33.Энергия рентгеновских лучей равна Wф = 0,6 МэВ. Найти энергию электрона отдачи, если известно, что длина волны рентгеновского кванта после комптоновского рассеяния изменилась на 20%. На какой угол произошло рассеяние?

7.34.Угол между направлением налетающего фотона (рис. 7.1) и направлением вылета электрона при эффекте Комптона равен φ = 30°. Энергия падающего фотона

Wф = 300 эВ. Найти изменение длины волны и энергию электрона отдачи. p′ф

pф

pe

Рис. 7.1

7.35. Фотон с длиной волны λ = 3,64 пм рассеялся на покоившемся свободном электроне так, что кинетическая энергия электрона отдачи составила η = 0,25 от энергии налетевшего фотона. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона и угол, под которым рассеялся фотон.

8. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ

Волны де Бройля – это волны, которые ставятся в соответствие любой движущейся микрочастице, отражающие квантовую природу микрочастиц.

Количественные соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и у фотонов: если частица имеет энергию W и импульс р, то с ней связана волна частоты ν = W/h и длины λ = h/p, где h – постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии (скорость частицы v << с, c – скорость света в вакууме) длина волны де Бройля λ = h/(mv), т. е. λ тем меньше, чем больше масса час-

тицы или (и) её скорость. Для электронов с энергией от 1 эВ до 10 кэВ длины волн лежат в интервале рентгеновского излучения –от 1,0 нм до 0,01 нм. Для макроскопических тел λ лежит за пределами, доступными для наблюдений, поэтому волновые свойства для таких тел несущественны.

Волновым законам подчиняется величина, описывающая состояние частицы и называемая волновой функцией Ψ. Квадрат модуля |Ψ|2 определяет вероятность состояния системы. Поэтому волны де Бройля называют волнами вероятности.

Волновая функция свободно движущейся частицы с определённым импульсом (волна де Бройля) имеет вид плоской волны:

Соотношения неопределённостей – это фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного измерения канонически сопряжённых динамических переменных, характеризующих квантовую систему. Соотношения неопределенностей есть следствие внутренних свойств квантовых объектов – корпускулярно-волнового дуализма, т. е. неразделимого сочетания волновых и корпускулярных свойств, равно учитываемых при полном описании объектов.

Математически соотношения неопределённостей записываются в виде неравенств:

∆x∆px ≥ h2 , ∆y∆py ≥ h2 , ∆z∆pz ≥ h2 ,

где под неопределённостями координаты и импульса понимаются среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений, т. е.

∆x = x2 − x 2 = (x − x )2 .

Неопределённость в измерениях не является следствием несовершенства измерительной техники, а есть объективное свойство материи.

Ввиду малости ħ соотношения неопределённостей не проявляются в опытах с макроскопическими телами, они существенны для явлений атомных масштабов.

Соотношение неопределённостей для энергии и времени

∆W∆t ≥ h2

можно трактовать как невозможность точного определения энергии за ограниченный интервал времени ∆t вследствие взаимодействия системы с измерительным прибором.

Для возбуждённых квантовых систем неопределенность энергии состояния ∆W (естественная ширина уровня) непосредственно связана со временем τ жизни возбуждённого состояния соотношением неопределённостей

∆W τ ≥ h2 .

Соотношения неопределённостей позволяют получать простые оценки количественных характеристик квантовых систем.

Примеры решения задач

Пример 8.1

Исходя из соотношений неопределённостей, оценить радиус орбиты электрона в основном состоянии атома водорода.

РЕШЕНИЕ

Полная энергия электрона в атоме водорода складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии притяжения к ядру:

Движение электрона в радиальном направлении ограничено радиусом орбиты r, поэтому максимальная неопределённость координаты электрона по порядку величины равна r (∆х ≈ r). В силу соотношения неопределённостей минимальное значение неоп-

ределённости импульса электрона ∆p ≈ hr .

Полагая, что величина импульса по крайней мере не меньше, чем его неопредёленность (p ≈ ∆p), можно оценить значение полной энергии электрона на орбите радиуса r:

При уменьшении радиуса орбиты возрастает кинетическая энергия (первое слагаемое), при увеличении радиуса возрастает потенциальная энергия. Следовательно, существует такое значение r = r0, при котором полная энергия электрона минимальна. Так как основное состояние атома отличается наименьшей энергией, минимальное значение W0 = W(r0) даёт оценку энергии основного состояния. Радиус r0 электронной орбиты в основном состоянии можно оценить из условия экстремума W:

Отсюда

r0 ≈ 4рmeε02h2 = 0,05 нм.

Пример 8.2

Вычислить длину волны де Бройля для электрона и для протона, если кинетическая энергия частиц составляет 8 МэВ (энергия, которая в среднем приходится на один нуклон в ядре атома).

РЕШЕНИЕ

Дебройлевская волна частицы выражается через её импульс: λ = h/p.

Так как энергия покоя электрона (0,511 МэВ) меньше его кинетической энергии, для нахождения импульса электрона необходимо использовать релятивистское соотношение

Wк = c p2 + me2c2 − me c2 .

Тогда

Энергия покоя протона (около 900 МэВ) намного превышает его кинетическую энергию. Поэтому для протона можно воспользоваться нерелятивистской связью между импульсом и энергией частицы: