температура второй половины на столько же уменьшилась? Температуру поверхности Солнца принять равной T = 6·103 К.
6.10. Какой температуре абсолютно черного тела соответствует излучение рубинового лазера на волне λ = 694 нм при спектральной плотности излучения на этой частоте
Uω, T = 10 Дж/(с·м-3)?
6.11. а) Вывести из формулы Планка закон Стефана-Больцмана и выразить постоянную σ через мировые константы h, c, k. При интегрировании использовать равенство
∞ x3 |
р4 |
|||
∫0 |
dx = |
. |
||
ex −1 |
15 |
|||
б) Вывести из формулы Планка закон смещения Вина λmT = b и выразить постоянную b через мировые константы h, c, k. Задача сводится к решению трансцендентного
уравнения |
ξ eξ |
= 5 , которое имеет корень ξ = 4,965. |
|||
eξ |
−1 |
||||
6.12. Показать, что спектральная излучательная способность абсолютно чёрного тела εν, T и спектральная плотность энергии равновесного излучения Uν, T связаны между
собой соотношением Uν , T = 4 εν , T . c
6.13.Вследствие охлаждения абсолютно чёрного тела максимум его спектральной излучательной способности сместился с λ1 = 0,8 мкм на λ2 = 1,2 мкм. Как изменилась при этом интегральная излучательная способность и максимальная спектральная излучательная способность?
6.14.Источник света – гриб ядерного взрыва с температурой Т = 107 К. Считая облако абсолютно чёрным телом, найти длины волн, соответствующие максимумам спектральных излучательных способностей εν, T и ελ, T. Вычислить разность этих длин волн
∆λ = λm −λm′ и отношение максимальных значений спектральных излучательных спо-
собностей ελm ,T .
ελm′ ,T
6.15.В спектре излучения огненного шара радиуса 100 м, возникающего при взрыве, максимум энергии излучения приходится на длину волны 0,289 мкм. Найти: температуру поверхности шара; энергию, излучаемую поверхностью шара за время 10–3 с; максимальное расстояние, на котором будут воспламеняться деревянные предметы, если их поглощательная способность равна 0,7, а теплота воспламенения 5·104 Дж/м2. Считать, что шар излучает как абсолютно чёрное тело.
6.16.Найти максимальную энергию, получаемую ежеминутно каждым квадратным метром освещенной Солнцем земной поверхности при нормальном падении. Оценить равновесную температуру Земли (без учёта внутренних источников), считая её серым телом с коэффициентом поглощения А = 0,8. Считать температуру Солнца равной
ТС = 5800 К.
6.17.При увеличении температуры абсолютно чёрного тела его энергетическая
светимость увеличилась в N раз. Как изменится длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности тела? Как изменится величина этого максимума? Оба состояния считать равновесными.
6.18.Используя формулу Планка для спектральной излучательной способности, найти приближённые выражения εν, T для случаев hν >> kT (формула Вина) и для hν << kТ (формула Рэлея-Джинса). Найти частоту ν*, для которой при ν < ν* погрешность формулы Рэлея-Джинса не превышает 5% для солнечного излучения.
6.19.Излучение абсолютно чёрного тела может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн ελ, T, либо по частотам εν, T. Найти отношение длин волн λm
иλm′ = λ(νm ), на которые приходится максимум распределения; найти отношение соот-
ветствующих максимальных излучательных способностей. Показать, что λm находится на спаде функции ελ, T (т. е. там, где производная ελ, T по λ отрицательна).
6.20. Представить объемную спектральную плотность энергии излучения абсолютно чёрного тела как функцию распределения числа квантов по энергии кванта. Оценить среднюю энергию кванта и наивероятнейшую энергию кванта при температуре
Т= 1000 К.
6.21.Начальная температура теплового излучения T = 2000 К. На сколько изменится эта температура, если наиболее вероятная длина волны увеличится на ∆λ = 260 нм? Как изменится при этом наиболее вероятная энергия кванта?
6.22.В замкнутом изолированном объеме находится идеальный газ при температуре T = 300 К. При какой концентрации молекул газа объёмная плотность кинетической энергии поступательного движения молекул равна объёмной плотности энергии излучения абсолютно чёрного тела? Чему равно при этом давление газа?
6.23.Найти температуру полностью ионизированной водородной плазмы плотностью ρ = 0,10 г/см3, при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы, если давление теплового излучения Р = w/З, где w – объ-
ёмная плотность энергии излучения. (При высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеального газа.)
6.24.С помощью формулы Планка найти мощность излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела при Т = 2000 К в интервале длин волн, отличающихся от наиболее вероятной длины волны не более чем на η = 0,5%.
6.25.Мощность излучения единицы поверхности некоторого тела в середине видимого диапазона (длина волны λ = 500 нм) в полосе длин волн с относительной шириной
η= ∆λ/λ = 0,002 равна ∆W = 10 Вт/м2. Найти спектральные излучательные способности ελ, T и εν, T для этого тела.
6.26.Температура абсолютно черного тела поддерживается с относительной точно-
стью ∆T/T = 0,01. Каковы относительные стабильности энергетической светимости (∆εT/εT), максимальной излучательной способности (∆ελ, T/ελ, T) и длины волны (∆λm/λm), соответствующей максимуму излучательной способности?
6.27.Найти поглощательную способность серого тела, если оно при температуре T = 1000 К испускает с поверхности S = 10 см2 поток ΦT = 25 Вт. При какой температуре чёрного тела его интегральная энергетическая светимость будет равна энергетической светимости серого тела?
6.28.Температура абсолютно чёрного тела T = 500К. Вычислить энергетическую светимость этого тела, приходящуюся на спектральный интервал длин волн ∆λ = 10 нм возле длины волны λ = 580 нм. Сравнить с энергетической светимостью в таком же интервале длин волн возле длины, соответствующей максимуму ελ, T.
6.29.Вычислить во сколько раз увеличится энергетическая светимость абсолютно чёрного тела в небольшом интервале длин волн возле λ = 5·10–6м ив таком же интервале возле длины волны λm, соответствующей максимуму излучательной способности, при повышении температуры тела от 1000К до 2000К.
6.30.Медный шарик радиуса r = 10 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в эвакуированный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика T = 300 К. Через какое время его температура уменьшится в η = 1,5 раза? Удельная теплоёмкость и плотность меди соответственно равны С = 380 Дж/(кг·К), ρ = 8,9·103 кг/м3.
6.31.При работе электрической лампы вольфрамовый волосок накаляется до температуры Т1 = 2700 К. Через t = 260 с после выключения тока температура волоска падает до Т2 = 300 К. Найти диаметр волоска, считая, что он излучает как серое тело с коэффициентом излучения А = 0,3. Падающее на волосок извне излучение и другие поте-
ри энергии (кроме излучения) не учитывать. Удельная теплоёмкость и плотность вольфрама С = 1500 Дж/(кг·К), ρ = 1,91·104 кг/м3.
6.32.Тело массой m = 0,010 кг и площадью поверхности S = 0,02 м2, имеющее температуру T1 = 600 К, помещено в вакуум. До какой температуры охладится тело за время t = 30 с, если средняя поглощательная способность поверхности тела А = 0,4, а удельная теплоёмкость С = 334,4 Дж/(кг·К). Излучением окружающих предметов, падающим на тело, пренебречь.
6.33.Для длины волны λ = 6·10–7м спектральная излучательная способность некоторого тела равна спектральной излучательной способности абсолютно чёрного тела, имеющего температуру Т = 3000 К. Найти температуру тела, если его спектральная поглощательная способность для данной длины волны равна Аλ, T = 0,5.
6.34.Температура абсолютно чёрного тела 5000 К. Оценить долю излучаемой энергии, приходящуюся на видимую область спектра (λ (0,39; 0,72) мкм). Найти длину
волны при температуре 3700 К, которая делит спектр излучения на две равноэнергетические части.
Указание. Вычислить энергетическую светимость в видимой области для каждого интервала длины 0,1 мкм возле длин волн 0,4 мкм, 0,5 мкм, 0,7 мкм.
6.35. Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон, расположена сфера радиуса R, являющаяся источником равновесного теплового излучения с температурой Т0. Центр сферы находится на расстоянии d >> R от плоскости. Найти стационарное распределение температуры на плоскости Т = Т(r), здесь r – расстояние от проекции центра сферы. Считать, что система находится в вакууме, фон теплового излучения отсутствует и теплопроводностью по плоскости можно пренебречь.
7. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Квантовые (корпускулярные) свойства света проявляются в том, что свет излуча-
ется (М. Планк), поглощается и распространяется (А. Эйнштейн) в виде световых кван- тов-фотонов. Фотоны являются носителями энергии и импульса световой волны. Энергия фотона может быть выражена в джоулях (Wф) или в электрон-вольтах (Uф):
Wф = hν = hcλ , Uф = heν = ehcλ ,
где ν – частота света, λ – длина световой волны в вакууме, h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме.
Масса mф и импульс pф фотона:
mф = Wc2ф = hcν2 = chλ , pф = mфc = hcν = λh .
Связь между энергией и импульсом:
Wф = cpф .
Масса покоя фотона равна нулю, фотон всегда движется со скоростью c в направлении распространения электромагнитной волны, поэтому
pф = chλc = hk ,
где h = 2hр , k – волновой вектор.
Внешний фотоэффект объясняется испусканием электронов веществом под действием света. Это результат неупругого взаимодействия фотона и электрона. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
hν = A +Wк ,
где А – работа выхода электрона, Wк – максимальная кинетическая энергия электрона, hν – энергия поглощенного фотона. Для нерелятивистского электрона
W max
= mv2 .
к 2
Красная граница фотоэффекта – это минимальная частота света ν0 (максимальная длина волны λ0), при которой еще возможен фотоэффект:
hν0 = A .