Материал: МЭИ(ТУ) Физика

6. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Тепловое излучение – это электромагнитное излучение вещества, возникающее за счёт его внутренней энергии. Тепловое излучение имеет сплошной спектр, положение максимума которого зависит от температуры вещества. Тепловое излучение может быть равновесным, т. е. может находиться в термодинамическом равновесии с излучающим веществом.

Основными характеристиками теплового излучения являются:

•спектральная плотность энергии равновесного излучения

uν ,T = ddwν ,

где dw – объёмная плотность энергии w излучения в интервале частот (ν, ν + dν),

w = ∞∫uν ,T dν ;

0

•спектральная излучательная способность (спектральная энергетическая свети-

мость) тела

Eν ,T = dWdν ,

где dW – энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот (ν, ν + dν); в шкале длин волн

Eλ,T = dW , Eλ,T = Eν ,T 2рcW ; dλ λ2

•интегральная излучательная способность тела

ET = ∞∫Eν ,T dν = ∞∫Eλ,T dλ ;

00

•спектральная поглощательная способность (спектральный коэффициент погло-

щения) тела – безразмерная величина, показывающая, какая доля падающей на поверхность тела энергии электромагнитных волн с частотами (ν, ν + dν) поглощается телом,

Абсолютно чёрное тело – это тело, полностью поглощающее всё падающее на него излучение: Aν, T = 1, (Eν ,T )АЧТ = εν ,T или ελ, T.

Серое тело – это тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты или длины волны: (Aν ,T )сер = AT <1.

Связь между спектральной плотностью энергии и излучательной способностью аб-

Закон Кирхгофа: отношение излучательной способности к его поглощательной способности не зависит от природы тела и равно излучательной способности абсолютно черного тела при тех же ν и Т:

Eν ,T = εν ,T = f (ν,T ).

Aν ,T

Функция εν, T = f(ν,T) называется функцией Кирхгофа.

Для абсолютно чёрного тела справедливы следующие соотношения:

•закон Стефана-Больцмана

εT =σT 4 ,

где σ = 5,67·10–8 Вт/м2·К4 – постоянная Стефана-Больцмана;

•при изменении температуры максимум ελ, T смещается в соответствии с законом Вина:

λm = Tb ,

где b = 2,9·10–3 м·К – постоянная Вина;

•формула Рэлея-Джинса (для малых частот):

εν ,T = 2рcν2 2 kT ;

•формула Планка для спектральной излучательной способности абсолютно чёрного тела:

•спектральная плотность энергии:

где k = 1,38·1023 Дж/К – постоянная Больцмана, h = 6,62·10–34 Дж·с – постоянная Планка.

Примеры решения задач

Пример 6.1

В спектре Солнца максимум спектральной излучательной способности ελ, T приходится на длину волны λm = 0, 482 мкм. Считая, что Солнце излучает как абсолютно чёрное тело, найти: температуру поверхности Солнца; мощность излучения Солнца; интенсивность солнечной радиации вблизи Земли за пределами ее атмосферы; уменьшение массы Солнца в единицу времени.

РЕШЕНИЕ

Из закона смещения Вина находим, что температура Т поверхности Солнца равна

Энергетическая светимость Солнца по закону Стефана-Больцмана

а вся мощность излучения со всей поверхности

Используя соотношение Эйнштейна W = тс2 между массой и энергией, найдём

dmdt = c12 dWdt = 4,95 109 кгс .

Весь поток излучения Солнца проходит сквозь поверхность сферы радиуса r, равного расстоянию от Земли до Солнца:

Пример 6.2

Найти с помощью формулы Планка максимальное значение спектральной излучательной способности абсолютно чёрного тела и его энергетическую светимость, приходящуюся на узкий интервал длин волн ∆λ = 1 нм вблизи максимума спектральной излучательной способности при температуре тела Т = 3000 К.

Вычисление искомого максимума сводится к решению уравнения

x = 5(1−e−x ),

где x = λhckT . Корень уравнения находим приближённо, xm = 4,965. Отсюда получаем закон смещения Вина:

Теперь (ελ,T )max можно найти подстановкой в ελ, T значения λ = λm = Tb :

По теореме о среднем энергетическая светимость интервала

λm +∆λ 2

∆εT = ∫ελ,T dλ = ελm ,T ∆λ .

λm −∆λ 2

Подставив числовые значения величин (в СИ) b = 2,9·10–3 м·К, Т = 3000 К, ∆λ = 10–9 м и выполнив необходимые вычисления, получим

ελm ,T =1,29 10−5 T 5 Втм3 = 3,13 1012 Втм3 ; ∆εT = 3,13 1012 10−9 мВт2 = 3,13 кВтм2 .

Задачи

6.1.Максимум спектральной излучательной способности яркой красноватой звезды Арктур приходится на длину волны 5800 Å. Принимая, что звезда излучает как абсолютно чёрное тело, найти температуру поверхности звезды.

6.2.Охлаждение абсолютно чёрного тела происходит только за счет излучения. Найти, на сколько градусов тело остыло, если максимум спектральной излучательной способности сместился с фиолетовой границы спектра (400 нм) до её красной границы

(780 нм).

6.3.Муфельная печь потребляет мощность 0,5 кВт. Температура её внутренней поверхности при открытом отверстии диаметром 5 см равна 700°С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками? Принять, что отверстие излучает как абсолютно чёрное тело.

6.4.Пренебрегая потерями тепла на теплопроводность, подсчитать мощность электрического тока, необходимую для накаливания нити диаметром 1 мм и длиной 20 см до температуры 1750 К. Считать, что нить излучает как абсолютно чёрное тело.

6.5.Максимум спектральной излучательной способности Солнца соответствует длине волны 500 нм. Принимая Солнце за абсолютно чёрное тело, найти: 1) температуру поверхности Солнца, 2) интегральную излучательную способность Солнца, 3) поток энергии, излучаемый Солнцем в единицу времени. Радиус Солнца 6,95·108 м.

6.6.Найти, на сколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения. Температуру поверхности Солнца принять равной 5800 К. Радиус Солнца равен

6,95·108 м.

6.7.Найти установившуюся температуру зачернённой тонкостенной пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам вне земной атмосферы, на среднем расстоянии от Земли до Солнца, равном r = 149·106 км. Радиус Солнца R = 6,95·108 м,

температуру поверхности Солнца принять равной T0 = 5800 К. Сравнить температуру пластинки со средней температурой поверхности Земли (290 К).

6.8.Используя формулу Планка, показать, что максимум спектральной излучательной способности абсолютно черного тела ελ, T изменяется пропорционально пятой степени температуры.

6.9.Во сколько раз изменилось бы общее количество энергии, излучаемой Солнцем, если бы температура половины поверхности Солнца увеличилась на ∆T = 100 К, а