5. ДИСПЕРСИЯ. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
Дисперсия света – это зависимость показателя преломления света от частоты (или длины волны) или зависимость фазовой скорости световых волн в среде от их частоты.
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн
v = ωk = nc ,
где ω = 2πν – циклическая частота волны, n – показатель преломления среды, c – ско-
рость света в вакууме, k = |
2р |
= |
ω |
= |
ωn |
– волновое число. |
||||||||
v |
c |
|||||||||||||
λ |
||||||||||||||
Групповая скорость света |
||||||||||||||
u = |
dω |
= v − λ |
dv |
c |
λ dn |
|||||||||
= |
1 |
+ |
. |
|||||||||||
dk |
dλ |
n dλ |
||||||||||||
n |
||||||||||||||
Абсолютный показатель преломления среды п – величина, равная отношению ско-
рости света в вакууме c = |
1 |
, где ε0 – электрическая постоянная, µ0 – магнитная |
ε0 µ0 |
постоянная, к его фазовой скорости v в среде; n = εµ , ε – относительная диэлектриче-
ская проницаемость среды, µ – относительная магнитная проницаемость среды. Для
среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, µ ≈ 1 и n = ε .
Дисперсия света называется нормальной, если |
dn |
> 0 |
dn |
< 0 |
, т. е. n увеличива- |
||
dω |
|||||||
dλ |
ется с ростом ω (убывает с ростом λ). Нормальная дисперсия наблюдается у прозрачных для света веществ.
Дисперсия света называется аномальной, если ddnω < 0
персия наблюдается в областях спектра, соответствующих полосам интенсивного поглощения света в среде.
В зависимости от характера дисперсии групповая скорость света может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. При нормальной дисперсии и < v, при ано-
мальной дисперсии и > v, в отсутствие дисперсии и = v.
При малом затухании (вдали от области поглощения или в непоглощающей среде)
Учитывая зависимость п(λ) из условия задачи, получим
u = cλ |
2 |
aλ2 −b |
u aλ2 −b |
|
и |
v = aλ2 + b . |
|||
(aλ2 + b)2 |
Подставив заданные в условии задачи численные значения, найдём:
λ1 = 400 нм, n = 1,5305, uv = 0,9655 ;
λ2 = 500 нм, n = 1,5210, uv = 0,9778 ;
λ1 = 750 нм, n = 1,5116, uv = 0,9901 .
Пример 5.2
Концентрация электронов в ионосфере Ne = 2,56·1011 м–3. Найти показатель преломления для радиоволн с частотой ω = 2π·107 с–1, а также фазовую v и групповую u
скорости для этих радиоволн.
РЕШЕНИЕ
Показатель преломления плазмы ионосферы определяется выражением
n2 |
=1 |
− |
N |
e2 |
. |
||||||||||||||||||||||||
e |
|||||||||||||||||||||||||||||
mε ω2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Подставив численные значения e, Ne, ω0, m, получим n = 0,891. Фазовая скорость |
|||||||||||||||||||||||||||||
v = |
c |
= |
3 108 м |
= |
3,364 108 м . |
||||||||||||||||||||||||
n |
0,891 с |
||||||||||||||||||||||||||||
с |
|||||||||||||||||||||||||||||
Для |
вычисления |
групповой |
скорости |
используем |
соотношение Рэлея |
||||||||||||||||||||||||
dv |
c |
λ dn |
2р |
2рc |
|||||||||||||||||||||||||
u = v − |
λ |
= |
1+ |
и зависимость п(λ). Так как ω = vk = v |
= |
, для показа- |
|||||||||||||||||||||||
dλ |
λ |
nλ |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
n dλ |
||||||||||||||||||||||||||||
теля преломления плазмы получим |
|||||||||||||||||||||||||||||
n = |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
1+ aλ2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
где a = |
Ne e2 |
||||||||||||||||||||||||||||
. Групповая скорость |
|||||||||||||||||||||||||||||
4р2c2ε0 m |
|||||||||||||||||||||||||||||
aλ |
2 |
2 |
8 |
м |
|||||||||||||||||||||||||
− |
= cn = 2,67 10 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
u = v 1 |
1+ aλ |
= vn |
с |
||||||||||||||||||||||||||
Задачи
5.1.Найти показатель преломления аргона для видимой области спектра (длина волны 600 нм) при нормальных условиях, если поглощение в аргоне происходит при длине волны 70 нм.
5.2.Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии (v – фазовая скорость, а – постоянная величина, c – скорость света):
1) v = а |
– недиспергирующая среда; |
|||
2) |
v = a |
λ |
– волны на поверхности жидкости; |
|
3) |
v = |
a |
– поперечные колебания стержня; |
|
λ |
||||
4) |
v = |
c2 + a2λ2 |
– электромагнитные волны в ионосфере. |
|
5.3. Показатель преломления сероуглерода для света с длиной волны λ1 = 656 нм равен n1 = 1,620, а при λ2 = 580 нм n2 = 1,629. Найти параметры аппроксимационной дисперсионной формулы n = А + В/λ2 и найти, во сколько раз отличаются фазовая и групповая скорости света в сероуглероде для жёлтой области спектра λ = 620 нм.
5.4.Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой ν = 10 МГц её показатель преломления n = 0,90. Найти фазовую и групповую скорости для этих волн.
5.5.а) Показать, что для электромагнитных волн в плазме справедливо соотношение vu = c2, где v, и – соответственно фазовая и групповая скорости распространения волн, с – скорость электромагнитных волн в вакууме. Найти зависимость относительной диэлектрической проницаемости ε от циклической частоты ω.
б) Показать, что если показатель преломления плазмы близок к единице, то спра-
ведливо равенство n2 =1− Nee2 2 . Найти групповую скорость электромагнитных волн mε0ω
в плазме в этом случае и убедиться, что групповая скорость меньше скорости света в вакууме.
в) Пульсар (вращающаяся нейтронная звезда) излучает периодически импульсы радиоволн, которые регистрируются радиотелескопом. Если приёмник перестроить с частоты ν1 = 150 МГц на частоту ν2 = 240 МГц, то импульс будет появляться на ∆t = 1,3 с раньше. Каково расстояние до пульсара, если плотность электронов в межзвездном пространстве Ne = 0,03 см–3?
5.6. Фазовая скорость света v зависит от длины волны по закону v = аλm, где а –
размерная константа, а показатель степени m < 1. Найти групповую скорость света. 5.7. Фазовая скорость v света в некоторой среде изменяется: 1) с частотой света ω
по закону v = αωq; 2) с длиной волны λ в данной среде по закону v = βλp (α, β – констан-
ты, p, q < 1). Найти значения групповой скорости и. Вычислить и для случая q = –1,
р= –1.
5.8.Показатель преломления криптона для жёлтой линии натрия λ = 589,3 нм при температуре Т = 273 К и давлении p1 = 1·105 Па равен n1 = 1,000427. Найти показатель
преломления криптона при той же температуре и давлении p2 = 4·106 Па.
5.9.При прохождении в некотором веществе пути х интенсивность света уменьшается в два раза. Во сколько раз уменьшится интенсивность при прохождении пути 3x?
5.10.На сколько процентов уменьшится интенсивность света при прохождении плоской волной пути, равного: 1) 5,00 мм – оконное стекло; 2) 10,0 мм – зеркальное стекло; 3) 1,0 м? Коэффициент поглощения стекла 1,0 м–1.
5.11.Монохроматический пучок света интенсивностью I0 падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластины толщиной d. Коэффициент поглощения вещества пластины линейно изменяется вдоль нормали к её поверхности от значения k1 до k2. Пренебрегая отражением света от пластины, найти интенсивность прошедшего света.
5.12.Из некоторого вещества изготовили две пластинки: толщиной d1 = 3,8 мм и d2 = 9,0 мм. Экспериментально было найдено, что коэффициент пропускания первой пластины D1 = 0,84, а второй – D2 = 0,70. Рассчитать коэффициент поглощения вещества. Свет падает на пластины нормально. Учесть однократное отражение света от поверхности пластин. Коэффициент пропускания – это отношение интенсивностей прошедшего и падающего света.
5.13.В технической оптике принято характеризовать дисперсию материала в види-
мой области спектра числом Аббе ν = nD −1 nF − nC
для длин волн соответственно λC = 656,3 нм, λD = 589,3 нм и λF = 486,1 нм. Для плавленого кварца найдена эмпирическая зависимость n(λ) = а + b/λ2, где а = 1,4484, b = 3,53·103 нм2, λ – длина волны в нанометрах. Найти число Аббе для плавленого кварца.