Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Wк = 2p2 . mp

Отсюда

Задачи

8.1.Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона (масса протона mp = 1860 mе, где mе – масса электрона) и шарика массой

1мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределённостью

1мкм.

8.2.Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося в области, размер которой около 0,1 нм.

8.3.Исходя из того, что радиус атома r имеет величину порядка 0,1 нм, оценить с помощью соотношения неопределённостей скорость движущегося электрона в атоме водорода.

8.4.Возбуждённый атом испускает фотон в течение τ = 0,01 мкс. Длина волны излучения λ = 600 нм. Найти, с какой точностью могут быть измерены энергия, длина волны и координата фотона.

8.5.С помощью соотношения неопределённостей оценить минимальную энергию электрона в одномерной потенциальной яме шириной 2а.

8.6.Исходя из соотношения неопределённостей оценить, какого размера должен быть потенциальный ящик для того, чтобы локализованный в нём электрон имел на самом глубоком уровне энергию 1 эВ, 1 кэВ?

8.7.Используя соотношения неопределённостей, оценить минимальную амплитуду колебаний одномерного гармонического осциллятора массы m и частоты ω.

8.8.С помощью соотношения неопределённостей оценить минимальную энергию одномерного гармонического осциллятора частоты ω.

8.9.Исходя из соотношения неопределённостей, оценить энергию основного состояния атома водорода.

8.10.Найти длину волны де Бройля электрона, протона (mp = 1860 me) и шарика массы 1 мг, если известно, что они движутся с одинаковой скоростью 105 м/с.

8.11.Выразить кинетическую энергию электрона через его массу m, длину волны де Бройля λ и постоянную Планка.

8.12.Найти длину волны де Бройля электрона, ускоренного в электрическом поле при разности потенциалов U = 100 В.

8.13.Найти длину волны де Бройля пылинки массой m = 0,001 г, имеющей ту же скорость, что и электрон, ускоренный в электрическом поле при разности потенциалов

U = 100 В.

8.14.Найти среднюю длину волны де Бройля теплового нейтрона, т. е. нейтрона,

находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой при температуре

T = 300°К.

8.15.Вычислить длину волны де Бройля для α-частицы, нейтрона и молекулы азота, движущихся с тепловой скоростью при температуре t = 25°С.

8.16.На две очень тонкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии d = 10 мкм, падает пучок электронов с энергией W = 1 эВ. В L = 10 м от щели находится экран. Каково расстояние между соседними максимумами интерференции на экране?

8.17.Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой равна b = 0,10 мм. Найти скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума ∆x = 8,0 мкм.

8.18.Пучок моноэнергетических электронов падает нормально на плоскую преграду с узкой прямоугольной щелью ширины b. Исходя из соотношения неопредёленностей, оценить минимальный угол θmin отклонения электронов от первоначального направления распространения. Полученную оценку сравнить с углом θ1, соответствующим первому минимуму дифракции плоской волны де Бройля на щели. Какой вывод можно сделать из этого сравнения? Дебройлевская длина волны падающих электронов равна λд. Считать, что дифракция происходит на малые углы (sin θ = θ).

8.19.Доказать, что для атома водорода на воровских стационарных орбитах укладывается целое число длин волн де Бройля. Найти длины волн на первой и третьей орбитах.

8.20.Правило отбора стационарных боровских орбит в атоме водорода можно сформулировать следующим образом: на длине классической замкнутой орбиты электрона должно укладываться целое число длин волн де Бройля (см. задачу 8.19). Воспользовавшись принципом отбора в такой формулировке, найдите правило квантова-

ния энергии электрона, находящегося в прямоугольной потенциальной яме шириной а

сбесконечно высокими стенками. Движение электрона в яме считать одномерным.

8.21.Оптический фотон, длина волны λ которого намного превышает комптоновскую, испытывает рассеяние на покоящемся электроне. Найти зависимость длины волны де Бройля λБ электрона отдачи от угла рассеяния. На какой угол должен рассеяться фотон, чтобы выполнялось равенство λ = λБ?

8.22.Атом водорода ионизируется под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны λ = 75 нм. Найти длину волны де Бройля высвободившегося электрона, если для ионизации атома водорода необходима энергия ε = 13,6 эВ.

8.23.Работа выхода фотокатода A = 2 эВ. Фотоэффект происходит под действием света с длиной волны λ = 500 нм. Найти минимальную дебройлевскую длину волны электронов вблизи анода, если анодное напряжение U = 5 В.

8.24.Фотоэффект наблюдается при облучении фотокатода светом с длиной волны λ = 550 нм. Известно, что длина волны де Бройля вылетающих электронов вблизи катода λБ = 2,0 нм. Найти красную границу фотоэффекта.

8.25.Найти релятивистское выражение для длины волны де Бройля электрона, ускоренного в электрическом поле, если ускоряющее напряжение равно U.

Указание. Для релятивистской частицы импульс р находится из соотношения

(mc2 + eU )2 − (pc)2 = (mc2 )2 .

8.26. Длина волны де Бройля релятивистского электрона λ = 1,2·10–12 м. Чему равна дебройлевская длина волны того же электрона в системе отсчёта, движущейся со скоростью v = с/2 в том же направлении, что и электрон?

Указание. Воспользоваться преобразованием Лоренца для импульса

где p, W – импульс и энергия электрона в лабораторной системе отсчёта.

8.27.Выразить лоренцевский фактор релятивистского электрона γ =W/mc2 (отношение полной энергии к энергии покоя) через дебройлевскую λ и комптоновскую λС длины волн.

8.28.Дебройлевская длина волны электрона в два раза превышает комптоновскую. Во сколько раз полная энергия электрона превышает энергию покоя?

8.29. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его дебройлевская длина волны была равна комптоновской?

9. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики для микрочастицы массы m, движущейся в силовом поле с потенциальной энергией U(r, t)

– временное уравнение Шрёдингера

но представить в виде

− i Wt ( )

Ш= e h ψ r ,

где W – полная энергия частицы, а функция ψ = ψ(r) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера

− h2 ∆ψ(r) +U (r)ψ(r) =Wψ(r) . 2m

Это уравнение вместе с соответствующими граничными условиями, накладываемыми на волновую функцию ψ(r) и стандартными требованиями к ней при заданном U(r) оп-

ределяет собственные волновые функции ψ(r) и собственные значения энергии W.

Вероятность обнаружения частицы в элементарном объёме пространства dV равна dρ(r)=ψ(r)ψ (r)dr ,

где ρ(r) = |ψ(r)|2 – плотность вероятности местонахождения частицы.

Условие нормировки вероятности

+∞

∫ρ(r)dV =1 .

−∞

Из уравнения Шрёдингера вытекает уравнение непрерывности

∂∂ρt + div j = 0 ,

где j – вектор плотности потока вероятности;

j(r)= 2ihm [ψ(r) ψ (r)−ψ (r) ψ(r)],

где ≡ grad – оператор градиента.

Среднее значение физической величины А, характеризующей частицу в состоянии с волновой функцией ψ, определяется формулой

Примеры решения задач

Пример 9.1

Частица массой m находится в потенциальном поле вида

Найти собственные значения энергии частицы.

РЕШЕНИЕ

Уравнение Шрёдингера для частицы в заданном потенциальном поле имеет вид

Собственные значения энергии в таком поле дискретны, граничные условия для волно-

Приведём уравнение Шрёдингера к виду

x(1− x)y′′+ (k +1)(1− 2x)y′+ (k − s)(k + s +1)y = 0 .

Решение этого уравнения при s – k = n, n = 0, 1, 2, … обладает свойствами, которыми должна обладать волновая функция.

Для того чтобы привести уравнение Шрёдингера к указанному виду, сделаем заме-

Обозначим