§ 3. Дисперсия света
Дисперсия – это явление, связанное с зависимостью скорости электромагнитных волн в среде от длины волны (или частоты). Так как v = nc , где n – показатель прелом-
ления среды, c – скорость света в вакууме, явление дисперсии можно объяснить зависимостью показателя преломления n от частоты (или длины волны).
Если с ростом длины волны показатель преломления уменьшается, т. е. ddnλ < 0 , то
говорят о нормальной дисперсии. Если же с ростом длины волны растёт и показатель преломления, то говорят об аномальной дисперсии. Явление аномальной дисперсии сложно наблюдать, так как оно сопровождается сильным поглощением света.
Явление дисперсии, в частности, приводит к разложению белого света в спектр при прохождении света через стеклянную призму. Если на призму падает плоский фронт
волны, то после прохождения через приз- |
волныфронт |
v = c |
|||
му разные участки фронта запаздывают |
|||||
фронт |
|||||
друг относительно друга на время, |
кото- |
волны |
|||
v = c/n |
|||||
рое определяется толщиной слоя стекла, |
|||||
проходимого светом. В результате фронт |
v = c |
||||
искажается, что эквивалентно преломлению света. |
|||||
Электронная теория дисперсии |
|||||
Согласно теории Максвелла v = |
1 |
= |
c |
= c |
, т. е. n = εµ , где ε – относи- |
ε0εµ0 µ |
εµ |
n |
|||
тельная диэлектрическая проницаемость среды, µ – относительная магнитная проницаемость среды, ε0 – электрическая постоянная, µ0 – магнитная постоянная. В оптике обычно µ = 1, поэтому n = ε . Нужно объяснить зависимость ε от частоты ν.
Диэлектрическая проницаемость определяется способностью вещества к поляризации.
Поляризация |
|
Ориентационная поляризация |
Электронная поляризация |
E0 |
E0 |
Диполь разворачивается вдоль поля. Этот |
Молекулы «растягиваются» вдоль поля. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
механизм в оптике не работает, так как при |
Реально происходит смещение электрона и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
частоте ν ~ 1015 Гц молекулы не успевают |
он «успевает» за частотой 1015 Гц. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ориентироваться. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, теория сводится к поведению диполя (не жёсткого!) в |
E0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
переменном поле. Дипольный момент молекулы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
p = |
e |
x , |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
где x – плечо диполя, e – заряд электрона. Модуль вектора по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ляризации (поляризованность) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
P = |
∑ pi |
Np |
N |
= n |
− концентрациямолекул |
= n |
p = n |
e |
x . |
||||||||||||||||||||||||
i=1 |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
∆V |
∆V |
∆V |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь N – число диполей, ∆V – объём, который занимают эти диполи. Так как D = ε0εE, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а с другой стороны D = ε0E + P, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
или, разделив на ε0E, |
ε0εE = ε0 E + n0 |
e |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
ε =1+ |
n0 |
e |
x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
ε0 |
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Проблема сводится к нахождению отношения Ex , т. е. нужно определить, насколько
эффективно «растягивается» молекула под действием электрического поля волны напряжённостью E.
Запишем II закон Ньютона для электрона, входящего в состав молекулы:
mea = ∑F .
На электрон действуют силы:
1.Возмущающая сила со стороны поля
Fвозм = e E = e E0 sin ωt
2.Возвращающая квазиупругая сила
Fквазиупр = −kx
(k зависит от строения молекулы или атома)
3.Сила сопротивления
Fсопр = −rv
характеризует потери энергии атомом. Тогда
me x = −rx − kx + |
e |
E0 sin ωt |
||||||||||||||||||||
&& |
& |
|||||||||||||||||||||
или |
||||||||||||||||||||||
&& |
& |
2 |
e |
E0 |
sinωt |
, |
||||||||||||||||
x + 2 |
βx +ω0 x = |
me |
||||||||||||||||||||
где 2β = |
r |
, ω0 |
= |
k . |
||||||||||||||||||
me |
me |
|||||||||||||||||||||
Решение уравнения имеет вид |
||||||||||||||||||||||
x = Asin(ωt +ϕ), |
||||||||||||||||||||||
где |
||||||||||||||||||||||
A = me |
e |
E0 |
, |
(1) |
||||||||||||||||||
(ω02 − |
ω |
2 )2 + 4β 2ω2 |
||||||||||||||||||||
tg |
ϕ = − |
2βω |
. |
(2) |
||||||||||||||||||
ω2 |
−ω2 |
|||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||
Тогда отношение |
x |
= |
Asin(ωt +ϕ) |
– это величина, которая может меняться с течением |
||||||||||||||||||
E |
E0 sinωt |
|||||||||||||||||||||
времени в самых широких пределах. Очевидно, нас интересует среднее значение за пе-
Ex ;
x |
= 1 t+∫T x |
dt = 1 t+∫T |
Asin(ωt +ϕ) |
dt = {sin(ωt +ϕ)= sinωt cosϕ + cosωt sinϕ}= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
T t E |
T |
t |
E0 sinωt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 t+T |
Asinωt cosϕ |
1 t+T Acosωt sinϕ |
1 Acosϕ |
t+T |
1 Asinϕ |
t+T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
dt + |
∫ |
dt = |
t |
+ |
ln(sinωt) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
E |
sinωt |
T |
E |
sinωt |
T |
E |
T |
E ω |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
0 |
t |
0 |
0 |
t |
0 |
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
Acosϕ |
+ |
Asinϕ |
ln sinω(t +T ) |
= |
Acosϕ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
E |
ω |
sinωt |
E |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ln 1 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
x |
= |
Acosϕ . Значения A и cos φ найдём из (1) и (2): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
E0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosϕ |
= |
1 |
= |
= − |
2βω |
= |
ω02 −ω2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ tg2 |
tgϕ |
ω |
02 −ω2 |
(ω02 −ω2 )2 + 4β 2ω2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
Acosϕ |
e E0 |
ω02 −ω2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E = |
E0 |
= |
2 |
−ω |
2 |
2 |
2 2 |
2 |
2 |
2 |
2 2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E0 me |
(ω0 |
) |
+ 4β ω |
(ω0 −ω |
) |
+ 4β ω |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
ω2 −ω2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= me [(ω02 −ω2 )2 + 4β 2ω2 ]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В результате для показателя преломления n получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n0 e |
x |
= 1 |
n e2 |
[(ω02 |
ω2 −ω2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = ε = 1+ ε0 |
E |
+ ε0 me |
−ω2 )2 |
+ 4β 2ω2 ]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть β = 0. Тогда
n = 1+ |
n0e2 |
|
ε0 me (ω02 −ω2 |
||
n |
При ω = ω0 наступает резонанс. |
1 |
||
0 |
ω0 |
ω |
Так как реально β ≠ 0, график имеет вид |
||
n |
Области аномальной дисперсии |
|
Здесь наблюдается сильное по- |
||
1 |
глощение энергии (резонансное |
|
поглощение). |
||
0 |
ω01 |
ω |
ω02 |
||
В области аномальной дисперсии наблюдается сильное поглощение энергии (резонансное поглощение). Так как у атома имеется несколько электронов, то возможны несколько областей аномальной дисперсии (несколько резонансных частот).
Итак, одна из характеристик среды – показатель преломления – зависит от частоты возмущения. Это приводит к тому, что фазовая скорость волны также зависит от час-
тоты (и, следовательно, длины) волны: vф = nc , c – скорость света в вакууме. При этом в области аномальной дисперсии коэффициент преломления может достигать значений меньше единицы (n < 1). Тогда получается vф = nc > c . Однако это не противоречит теории относительности, так как за перенос энергии отвечает групповая скорость; vгр = vф − λ ddvλф . Групповая скорость всегда меньше c.