A = A − A + A − A +K= |
A |
A |
− A + |
A |
A |
− A |
A |
A |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ |
1 |
3 |
+ |
3 |
+ |
5 |
+K= |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
Σ |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
Здесь мы воспользовались условием A ≈ |
An−1 + An+1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
. Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
AΣ |
= |
A1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В точке наблюдения |
M амплитуда |
колебаний |
r = 0,4 мм |
M |
||||||||||||||||||||||||||||||||
определяется только излучением, посылаемым |
l = 1 м |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
из половины первой зоны Френеля. Это и есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доказательство прямолинейности распространения света. (Энергия «идёт» в точку M |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вдоль луча AM.) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть l = 1 м, λ = 600 нм = 6·10–4 мм, тогда r |
= |
λl |
= |
103 6 10−4 |
≈ 0,8 мм. Следо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательно, излучение попадает в точку M из области фронта волны размером 0,4 мм. Что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будет, если на пути луча поставить экран с отверстием радиуса r1, т. е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оставить открытой только первую зону Френеля? В этом случае AΣ = A1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(при открытом фронте |
A = |
A1 |
). |
Тогда интенсивность света |
I |
1 |
= A2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Σ |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(при открытом фронте |
I0 |
= |
1 |
). Следовательно, I1 = 4I0, т. е. интенсивность света воз- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
растёт в 4 раза! Ещё больший эффект будет достигнут, если перекрыть все чётные зоны:
AΣ = A1 + A3 + A5 +K.
В собирающей линзе происходит сдвиг по |
сдвиг на λ/2 |
|
фазе между соседними зонами на λ . (На самом |
||
2 |
M |
|
деле здесь происходит плавный сдвиг.) |
||
AΣ = A1 + A2 + A3 + … В точке M – фокус линзы. |
II. Дифракция на одной щели. Метод зон Френеля
Дифракция в параллельных лучах ( дифракция Фраунгофера)
Пусть на щель падает пучок параллельных лучей монохроматического света. За щелью поместим собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран.
Оптическая схема
b |
|
B |
A |
экран |
|
l |
L F
Нужно иметь в виду, что ширина щели очень мала: b ≈ 0,01 мм. Расстояние от щели до экрана порядка 10 см и более.
Обычно оптическую схему рисуют так:
A I
b
B
1.Заменим фронт волны в пределах щели совокупностью вторичных источников света. Каждый из них посылает свет во все стороны, излучая сферические волны.
A
αi |
αi – угол дифракции |
B
2.Выберем пучок параллельных лучей, идущих под определённым углом дифракции αi. Пройдя через линзу, эти лучи соберутся в одной точке на экране. Следовательно,
A |
каждому углу дифракции αi соответствует |
|
своя точка на экране Mi. |
||
αi |
Mi
B
F
3.Лучи, пришедшие в точку M, когерентны, поэтому, интерферируя, они могут либо усиливать, либо ослаблять друг друга. Решим эту проблему методом зон Френеля.
4.Построение зон Френеля
λ/2 |
b |
||
A |
B |
Зона |
|
C |
|||
A |
Френеля |
||
b |
α |
||
Зона |
|||
B Френеля |
Разность хода между крайними лучами AC = b sin α. Разобьём AC на отрезки дли-
ной λ2 . Найдётся такой угол αi, для которого это разбиение будет целочисленным. Че-
рез точки разбиения параллельно BC и ребру щели проведём плоскости, которые разрежут щель на зоны Френеля. Зоны Френеля локализованы в плоскости щели.
Число зон Френеля, которые укладываются в плоскости щели,
z = AC = bsinα .
λ2 λ2
Амплитуда колебаний, посылаемых i-ой зоной, согласно принципу ГюйгенсаФренеля пропорциональна площади зоны. Так как по построению S1 = S2 = … = Sn, A1 = A2 = … = An, т. е. все амплитуды равны.
По построению разность хода между волнами, идущими от соседних зон, равна λ2 .
Следовательно, колебания от соседних зон приходят в противофазе. Суммарная амплитуда колебаний
AΣ = A1 − A2 + A3 − A4 +K± An .
Для двух зон AΣ = A1 – A2 = 0, для трёх зон AΣ = A1 – A2 + A3 = A.
Условия дифракционных минимумов и максимумов
Если на ширине щели укладывается чётное число зон Френеля, то данному углу соответствует минимум, если нечётное – то максимум интенсивности света. Условие максимума на самом деле не совсем точное.
Условие минимумов
Чётное число зон Френеля:
bsinα |
||||||
= ±2m |
bsinαm = ±mλ |
, m = 1, 2, 3, … |
||||
λ 2 |
||||||
Условие максимумов |
||||||
Нечётное число зон Френеля: |
||||||
bsinα |
= ±(2m +1) |
|||||
bsinαm = ±(2m +1)λ |
, m = 0, 1, 2, 3, … |
|||||
λ 2 |
2 |
|||||
Картину распределения интенсивности света на экране можно представить в следующем виде:
I
m = 0
Максимум |
||
первого |
||
порядка |
||
0 |
φ |
|
Ширина |
Минимум |
|
первого |
||
максимума |
||
порядка |
||
нулевого |
порядка Ширина максимума нулевого порядка определяется положением минимумов первого
порядка:
bsinα1 = λ .
Отсюда
sinα1 = λb .
III. Дифракционная решётка
Дифракционная решётка – это совокупность щелей и непрозрачных участков, их разделяющих; b – ширина щели (b ≈ 0,01 мм), d – период решётки (того же порядка). На одном миллиметре наносится сто и более штрихов. Период решётки много меньше расстояния от решётки до экрана.
b
d
F
Схематичное изображение имеет вид:
F
∆
d
φ
1
2
экран
Пусть на решётку нормально падает плоская волна (пучок параллельных лучей света). Рассмотрим лучи 1 и 2, идущие от соответствующих точек соседних щелей. Разность хода между ними ∆ = d sin φ. Лучи будут усиливать друг друга, если ∆ = mλ;
d sinϕ = ±mλ , m = 0, 1, 2, …
– формула дифракционной решётки. Это соотношение позволяет найти положение главных максимумов. Главные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель не посылает свет, т. е.
bsinϕ = ±kλ , k = 1, 2, 3, …
(Это условие минимума для одной щели.) Побочные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель посылает свет, но в совокупности амплитуда колебаний равна нулю:
d sinϕ = ± |
z |
λ |
, z = 1, 2, 3, …, N – 1, N + 1, N + 2, …, |
|
N |
||||
где N – полное число щелей, т. е. z ≠ 0, N, 2N, 3N и т. д.
Совокупность этих трёх условий позволяет нарисовать дифракционную картину.
Так как AΣ = A1 + A2 |
+ … + AN = NA1, I ≈ N 2 A2 |
, т. е. I = N2I1, где I1 – интенсивность све- |
1 |
||
та от одной щели. |
||
Главные |
||
максимумы |
Главные Побочные минимумы минимумы