Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1654-1658

vдр∆t

Найдём связь между скоростью дрейфа vдр и плотно-	I	e
стью тока. Если взять цилиндр площадью основания S и	I	e
		e

длиной vдр∆t, то в нём будет находиться ∆N = n·vдр∆t·S

электронов, где n – концентрация электронов. За время ∆t через сечение S пройдут все электроны, находящиеся в выбранном цилиндре, т. е. протечёт заряд ∆Q = ∆N·e. Следовательно, плотность тока

j = ∆Q = nvдр∆t S e ,

S∆t S∆t

j = n e vдр .

Кроме дрейфового движения электроны участвуют в тепловом движении, причём vдр ≈1 ммс , а средняя квадратичная скорость теплового движения u ≈ 100 км/с! (Дейст-

вительно,	mu2	=	3	kT	(классическая формула), где m – масса электрона.) Итак,
	2		2

u >> vдр.

Очевидно, что дрейфовая скорость определяется полем E. Найдём эту связь. Для этого рассмотрим процесс резкого «включения» и «выключения» поля. После мгновенного «включения» поля электроны не сразу разгоняются, а после «выключения» не сразу останавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.

E

Вкл.	Выкл.
поля	поля
tвкл	tвыкл

v

vдр

τ

Пусть τ – время релаксации, т. е. время, по истечении которого скорость электрона уменьшается в e раз.

Для того чтобы описать этот процесс за-

tпаздывания, запишем второй закон Ньютона для электрона:

m*	dv	=	e	E − F .
	dv

	dt			торм
	dt

Здесь m* – эффективная масса электрона

t(её значение связано с квантовыми особенностями движения электрона внутри

кристаллической решётки); Fторм – тормозящая сила, описывающая влияние соударений электрона с колеблющимися узлами кристаллической решётки и с другими неоднородностями (дислокациями). Положим, что Fторм ~ αv.

Решим полученное дифференциальное уравнение

m*	dv	=	e	E −αv .
	dv
	dt
	dt
Для этого разделим переменные:

αdv

= αdt .

e

E −αv

m*

Проинтегрируем левую и правую часть:

ln(

e

E −αv)= −

αt

+ const .

m*

Пропотенциируем это выражение:

−

αt

e

E −αv = Ce

m* .

Константу С найдём из начальных условий:

t =

0

e

E .

C =

v = 0

В результате получим

e

E

−

αt

*

v =

1

− e

m

.

α

График этой функции описывает процесс разгона электронов v

после включения поля. Тогда процесс остановки описывается

t

e

E

αt

формулой v =

e

−

. Очевидно, что дрейфовая скорость опре-

*

m

α

деляется формулой

vдр =

e

E

.

α

Время релаксации

τ = m* .

α

Тогда

− t

v = vдрe τ .

Введённый нами неизвестный коэффициент α можно выразить через время релаксации (которое, по крайней мере, можно найти экспериментально):

α = mτ* .

Тогда

eτ

vдр = m* E .

В результате для плотности тока j = n|e|vдр получим

	ne2τ

j = m* E,

(изопыта)j =σE,

откуда

σ = ne2τ . m*

Малость значения vдр объясняется тем, что электроны испытывают частые столк-

новения с дефектами кристаллической решётки и с колеблющимися узлами (фононами) этой решётки, испытывая при этом рассеяние. При каждом акте рассеяния электрон частично теряет скорость. Расстояние, пройдя которое (после ряда соударений), электрон теряет начальную скорость, называется транспортной длиной свободного пробега L. Величина L порядка нескольких длин свободного пробега λ. Со временем релаксации длина транспортного пробега связана соотношением

L = (u + vдр )τ = {т. к. u >> vдр}= uτ .

Отсюда τ = uL . Тогда

σ = ne2 L . m*u

Если обратимся к картине распределения электро- F(ε) нов по энергиям, то убедимся, что поле сначала воздействует на электроны, лежащие непосредственно вблизи уровня Ферми. Затем в формировании тока начинают

kT

ε

εF

принимать участие остальные электроны. Можно сделать следующие выводы:

1.В создании электрического тока в конечном счёте принимают участие все электроны, поэтому

σ =	ne2 L	,	(1)
	m*u

где n – общая концентрация электронов.

2.Электрическое поле действует на все электроны, но движение начинается с электронов, находящихся у уровня Ферми, затем на вакантные места переходит следующая группа электронов и т. д. Следовательно, темп хода всех процессов задают электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, в частности, они определяют дрейфовую скорость (скорость колонны войск определяет первая шеренга) и поэтому в формуле (1) L = LФ – транспортная длина свободного пробега электронов, находящихся у уровня Ферми, u = uФ – тепловая скорость электронов у уровня Ферми. В результате

		σ =	ne2	Lдр	.		(2)
		σ =	m*	uдр	.		(2)
			m*	uдр
3. В формуле (2) от температуры зависит только LФ ρ							~T
(так как uF слабо зависит от температуры). Соответ-							~T
(так как uF слабо зависит от температуры). Соответ-
ствующий расчёт и эксперимент показывает, что при						T5
низких температурах ρ =	1	~ T 5 ; при высоких тем-				Tкр	T
низких температурах ρ =		~ T 5 ; при высоких тем-				Tкр
σ
пературах ρ~ T (ρ – удельное сопротивление).
II. Сверхпроводимость
В 1911 г. Камерлинг-Оннес, работая при низких темпера-						ρ
турах с чистой ртутью, обнаружил резкое падение до нуля со-
противления при Tкр = 4,2 К. Такое явление называется сверх-							T
проводимостью. Ток в несколько амперов, наведённый в						4,2	T
проводимостью. Ток в несколько амперов, наведённый в						4,2	К

сверхпроводнике, сохраняется неизменным в течении нескольких лет.

= E ,

Так как j ρ то напряжённость электрического поля внутри проводника E = 0.

ρ = 0,

Кроме того, магнитное поле выталкивается из сверхпроводника. Внутри сверхпровод-

ника B = 0, т. е. сверхпроводник является идеальным диамагнетиком, магнитная восприимчивость которого κ = –1.

Теория сверхпроводимости

В 1950 г. было открыто явление изотопического эффекта. Оказалось, что между Tкр и массовым числом атомов A существует связь

Tкр A = C ,

где C – постоянная величина для данного элемента. Это означает, что сверхпроводимость обусловлена взаимодействием электронов с кристаллической решёткой. Казалось бы, сопротивление определяется столкновениями электронов с узлами периодической решётки. Однако при строгой периодичности решётки электроны пройдут через систему узлов, не испытав сопротивления. Это чисто квантовый (волновой) эффект. Рассеяние происходит на дефектах решётки и, прежде всего, на тепловых колебаниях узлов решётки (на фононах). В процессе рассеяния электроны вблизи уровня Ферми должны перейти на вышележащий уровень. Если окажется, что такие уровни недоступны (например, имеется энергетическая щель выше уровня Ферми), то электрон будет прохо-

дить через кристалл, не меняя своего состояния, т. е. без сопро-
тивления.	ε
В обычных условиях выше уровня Ферми есть свободные
уровни, поэтому акты рассеяния происходят и имеется отличное
от нуля сопротивление. Если же существует щель, то ниже уровня	∆εщели
	∆εщели
Ферми все уровни заполнены, а выше из-за наличия щели элек-	εF
троны перейти не могут. В переводе на язык классической физики
это означает, что движение электрона не меняется и металл может
приобрести идеальную проводимость, если при этом мы сможем
создать в нём упорядоченное движение зарядов.

Наличие подобной энергетической щели доказано в опытах по поглощению электромагнитного излучения, проходящего сквозь сверхпроводник.

СХЕМА ОПЫТА
Излучатель	hν	Приёмник

µА

Сверхпроводящая

плёнка

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: