T = |
b |
= |
2,9 10 |
−3 |
≈ 6000 К. |
||
λm |
4,7 |
10 |
−7 |
||||
4.Закон Рэлея-Джинса
Исходя из модельных представлений об излучении осциллятора и опираясь на за-
коны классической физики, Рэлей получил следующую формулу для излучательной способности абсолютно чёрного тела:
rν ,T = 2рcν2 2 kT .
Эта формула правильно описывает процесс при низких частотах ν, но резко расходится с экспериментом при высоких частотах. Более того, интегральная излучательная способность чёрного тела согласно этой формуле «уходит» в бесконечность:
rT = ∞∫rν ,T dν = |
2р2 kT ∞∫ν 2 dν → ∞ . |
|
0 |
c |
0 |
Это означало бы, что любое тело должно излучать rν, T
всю свою энергию, пока его температура T не станет
равной нулю. Это несовпадение теории с опытом эксперимент
было названо «ультрафиолетовой катастрофой».
ν
Это несоответствие было преодолено Планком, который при выводе формулы воспользовался следующей гипотезой, противоречащей
классической физике: энергия осциллятора может принимать только дискретный ряд значений, кратных минимальной порции энергии, равной hν, т. е. ε = 0, hν, 2hν, 3hν и т. д. Этой гипотезой было положено начало квантовой механике.
§ 5. Статистика Ферми-Дирака. Квантовая теория свободных электронов в металле
I. Постановка задачи
1.Атомы в металлах располагаются настолько близко (в узлах кристаллической решётки), что валентные электроны приобретают способность покидать свои атомы и свободно перемещаться внутри решётки, т. е. внешние электромагнитные оболочки атомов перекрываются и в результате валентные электроны обобществляются и становятся свободными. (Электроны «свободны» в том смысле, что не входят в состав конкретного атома.)
2.Приближённо можно считать, что суммарная сила, действующая на каждый электрон со стороны узлов кристаллической решётки и соседних электронов, равна ну-
лю: ∑F = 0 . В результате электронный газ в первом приближении можно предста-
вить как совокупность нейтральных частиц с массой m = me, находящихся в сосуде с объёмом, равным объёму образца металла.
3.Так как масса электрона me ≈ 10-30 кг, а концентрация электронов n ≈ 1028 м-3, тем-
пература вырождения Tв = n2 3h2 ≈ 50000 К . Следовательно, электронный газ все- m0 k
гда вырожден.
4.Так как электроны не могут выйти из металла, электронный газ находится внутри потенциальной ямы, поэтому энергия электронов квантована. Так как спин элек-
трона s = 1/2, этот газ подчиняется статистике Ферми- |
pz |
f = 1/2 |
|||
Дирака. Распределение изобразительных точек по фазовым |
|||||
1 |
µ |
py |
|||
ячейкам подчиняется закону f (εi )= |
, где µ – хими- |
||||
εi −µ |
|||||
e kT |
+1 |
px |
|||
ческий потенциал. Если εi = µ, то f(εi) = 1/2. Отсюда можно |
|||||
дать ещё одно определение химического потенциала: химический потенциал численно равен энергии уровня, вероятность заполнения которого равна 1/2.
4рV |
3 2 |
εdε |
|||||||||||
dNε = gi f (εi )= |
(2m) |
. |
|||||||||||
h |
3 |
εi −µ |
|||||||||||
e kT |
+1 |
||||||||||||
Введём понятие функции распределения электронов по энергиям |
F(ε)= |
dNε |
– это |
||||||||||
dε |
|||||||||||||
плотность вероятности попадания изобразительной точки в область с энергиями от ε до
ε + dε;
4рV |
3 2 |
ε |
|||
F(ε)= |
(2m) |
||||
h |
3 |
εi −µ |
|||
e kT +1 |
|||||
– функция распределения электронов по энергиям (но не по ячейкам).
F(ε)
ε
III. Электронный газ при T = 0 К
Рассмотрим поведение электронного газа при температуре T = 0 К. Сначала рассмотрим вопрос о заполнении фазовых ячеек при T = 0 К, а затем вид функции распределения электронов по энергиям при T = 0 К.
1. Распределение электронов по энергетическим ячейкам при T = 0 К
Проводник для свободных электронов является потенциальной ямой, так как для выхода электрона из проводника требуется затратить энергию на преодолению кулоновских сил, удерживающих электрон в металле. Так как энергия электрона в потенциальной яме (даже конечной глубины) квантуется, то в яме образуется система энергетических уровней. С классической точки зрения при T = 0 К все электроны должны находиться на низшем энергетическом уровне, но так как работает принцип Паули, то на каждом уровне не может быть двух электронов с противоположными спинами. В результате заполняются N/2 нижних энергетических уровней (N – число свободных электронов в металле).
Последний заполненный энергетический уровень при T = 0 К называется уровнем Ферми. Энергия, соответствующая этому уровню, называется энергией Ферми εF.
Энергия Ферми – это максимальная энергия, которую может иметь электрон при T = 0 К. Следовательно, при εi ≤ εF все ячейки заполнены и f(εi) = 1, а при εi > εF ячейки свободны и f(εi) = 0 (см. рисунок). Действительно, рассмотрим формально функцию распределения по ячейкам f(εi) при T = 0 К:
εi |
|||
N/2 |
Работа выхода (A) |
εF = µ |
|
Уровень Ферми |
|||
εF
f(εi) |
|||||||||||||
1 |
=1приεi < µ, |
||||||||||||
1 |
|||||||||||||
−∞ |
|||||||||||||
f (εi )= |
= e |
1 |
+1 |
||||||||||
ε |
−µ |
||||||||||||
e |
i |
+1 |
= 0 приεi > µ. |
||||||||||
kT |
|||||||||||||
T =0 e∞ +1 |
|||||||||||||
Следовательно, при T = 0 К химический потенциал µ0 совпадает с энергией Ферми:
f(εi)
1
ε
εF = µ0
µ0 = εF (в общем случае µ0 ≠ εF!), а сама функция распределения имеет вид
2. Распределение электронов по энергиям при T = 0 К
1приεi < µ, |
||||||||||
Так как f (εi )= |
||||||||||
0 приεi > µ, |
||||||||||
4рV |
4рV |
3 2 |
||||||||
F(ε)= |
(2m)3 2 |
ε f (ε |
i |
)= |
h |
3 |
(2m) |
ε приε < µ, |
||
h3 |
0 приε > µ. |
|||||||||