Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1637-1641

Закон Кирхгофа

Отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и является единой для всех тел универсальной функцией частоты и температуры:

Rν ,T = rν ,T ,

Aν ,T

rν, T – излучательная способность абсолютно чёрного тела. Излучательная способность абсолютно чёрного тела выполняет роль универсальной функции.

Доказательство

Пусть имеется полость, стенки которой абсолютно чёрные. Внутри полости имеется серое тело. В равновесии энергия, излучаемая серым телом, равна энергии, падающей на это тело со стороны чёрных стенок. Для серого тела

dWизл = dWпогл ,

чёрное тело

серое

тело

при этом dWизл = Rν, T·dν, dWпогл = Aν, T·dWпад, но dWпад = dWизл = rν, T·dν. Отсюда

Rν ,T dν = Aν ,T rν ,T dν .

В результате

Rν ,T = rν ,T .

Aν ,T

Рассмотрим особенности фотонного газа. Пусть стенки полости поддерживаются при постоянной температуре T. Внутри полости – фотонный газ, находящийся в термодинамическом равновесии со стенками.

1.Масса покоя фотона m0 = 0.

2.Все фотоны имеют одинаковую скорость (v = c), но разные значения энергии и им-

пульса:

ε = hν,
		ε = pc .
p =	hν
	c

3. Фотоны не взаимодействуют между собой, т. е. не соударяются, поэтому равновесное состояние наступает только при наличии поглощающего тела через взаимодей-

ствие, которым устанавливается равновесие. Температура стенок определяет температуру фотонного газа.

4.Число фотонов не остаётся постоянным, так как они непрерывно поглощаются и излучаются. При этом фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии за

счёт изменения числа фотонов. Условие минимума ∂∂UN = 0 , где U – внутренняя

энергия газа, N – число фотонов. С другой стороны,	∂U	= µ . Поэтому для
энергия газа, N – число фотонов. С другой стороны,		= µ . Поэтому для
	∂N δQ=0
	dV =0

равновесного фотонного газа химический потенциал µ = 0. Тогда функция распределения принимает вид

f (εi )=		1	.
	ε

i

e kT −1

5.В одной фазовой ячейке может находиться произвольное число изобразительных точек, так как бозоны не подчиняются принципу Паули.

II. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε (с частотой от ν до ν + dν)

Пусть внутри полости, стенки которой поддерживаются при температуре T, находится равновесный фотонный газ. Тогда распределение изобразительных точек по ячейкам в фазовом пространстве описывается функцией распределения БозеЭйнштейна


f (εi )=			1		.
	ε
	e		i
		kT		−1

Так как f (εi )=	dNε	, то число фотонов с энергией от ε до ε + dε
Так как f (εi )=		, то число фотонов с энергией от ε до ε + dε
	gi
		dNε = f (εi )gi .
(число точек в i-й ячейке)					(число ячеек с энергиями εi)
Число ячеек с энергией εi
		g	i	=		∆Г		,
		g		=				,
							h3
					2

∆Γ – область фазового пространства, соответствующая энергии от ε до ε + dε.

∆Г = ∫∫∫∫∫∫dx dy dz dpx dpy dpz ;

так как энергия фотона не зависит от его координаты, можно провести раздельное интегрирование:

∆Г = ∫∫∫dx dy dz∫∫∫dpx dpy dpz =V ∆Гp .

V – объём полости ∆Γp – объём фазового пространства импульсов Область фазового пространства, соответствующая определённому значению энергии, – это сферический слой радиуса p и толщины dp;

			т. к.ε = cp и		ε	2	dε
∆Гp		= 4рp2 dp =		= 4р	ε		dε	=
			dε = c dp		c2 c
Тогда ∆Г =V ∆Гp =	4рε 2 dε		. В результате число ячеек с
Тогда ∆Г =V ∆Гp =		c3	. В результате число ячеек с
		c3

энергией от ε до ε + dε будет равно

gi = ∆Г = 8рVε 2 dε . h3 h3c3

2

Число же фотонов с энергией от ε до ε + dε

dNε =	8рVε 2 dε
dNε =	3			εi
				εi
		c	3	kT
	h	c	e		−1

4рε 2 dε	.
c3	.
c3
		pz
	p	∆p
	p	py
px

– распределение фотонов по энергиям.

Так как ε = hν, попытаемся перевести эту формулу на язык частот.

III. Излучательная способность чёрного тела

Спектральная плотность энергии – это энергия в единичном объёме, т. е. плотность энергии, приходящаяся на единичный интервал частот:

ρ

ν ,T

= dW

= ε dNε

= hν dNε .

V dν V

dν

V dν

Так как ε = hν, то dν = h·dν и тогда

ρ

=

8рhν 3

.

ν ,T

εi

3

kT

c

e

−1

Сделаем в полости малое отверстие площадью S. Тогда

через это отверстие будет «вытекать» часть фотонного газа. c∆t S Это и будет излучение чёрного тела. За время ∆t из полости

уйдёт излучение, находящееся в объёме цилиндра длиной c∆t; его энергия

dW = ρν ,T c∆t S dν .

Тогда излучательная способность

r	=	dW	= ρ	c .

ν ,T		S∆t dν	ν ,T

На самом деле, с учётом того, что фотоны могут двигаться не только перпендикулярно площадке S, получим, что

rν ,T = ρν4,T c .

Следовательно, излучательная способность чёрного тела равна


r	=	2рν 2			hν
r	=		2		εi
ν ,T		c	2		εi
		c		e kT −1
				e kT −1

–формула Планка для излучательной способности чёрного тела.

Врезультате мы получили знаменитую rν, T

формулу Планка, положившую начало кванто-
вой механике. (Получена она была Планком
несколько иным путём.) Эта формула даёт	ν

распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела. Она хорошо согласуется с экспериментальными данными.

IV. Законы теплового излучения чёрного тела

Закон Кирхгофа был сформулирован выше.

1.Излучательная способность чёрного тела подчиняется формуле Планка


r	=	2рν 2			hν	.
r	=		2		εi	.
ν ,T		c	2		εi
		c		e kT −1
				e kT −1

2.Закон Стефана-Больцмана

(В своё время был получен из термодинамических соображений.)

Интегральная излучательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени температуры:

r

=σT 4 ,

T

где σ = 5,67 10

−8

Дж

.

с м2

К

Действительно,

∞

2рν 2

hν

k 4

∞

2р

rT = ∫rν ,T dν = ∫

2

dν =

∫

2

c

εi

h

3

c

0

e kT

−1

0

rν, T

rT

T

hν

2

hν

kT

4

d

T

= σT

.

ε

−1

kT

e kT

kT

i

= const = σ

3.Закон смещения Вина

(Также в своё время был получен из термодинамических соображений.)

Сростом температуры максимум спектральной излучательной способности чёрного тела смещается в область больших частот (или меньших длин волн).

			λmT = b ,
где b = 2,9·10-3 м·К.
rν, T	T2	> T1	rλ, T	T2	> T1
	T2	> T1	rλ, T

T1			T1
ν			λ
ν1m ν2m			λ1m λ2m
Если воспользоваться условием экстремума		∂rλ,T	= 0 , то получим, что
Если воспользоваться условием экстремума		∂λ	= 0 , то получим, что
		∂λ
λmT = hc	,
5k

т. е. b = 5hck .

Этот закон позволяет найти температуру Солнца. Максимум излучательной способности Солнца приходится на длину волны зелёного света λm = 4700 Å = 470 нм. Тогда

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: