Материал: МЭИ(ТУ) Физика

F

~ ε

T = 0 К

ε

µ0 = εF

3. Расчёт энергии Ферми

Для расчёта энергии Ферми воспользуемся условием нормировки N = ∞∫dNε . При

0

T = 0 К

4. Расчёт средней энергии электрона при T = 0 К

По определению

ε ≈ 3 эВ.

Если взять 1 моль металла (N = NA = 6·1023), то внутренняя энергия электронного газа при T = 0 К

U = ε NA = 3 1,6 10−19 Дж 6 1023 ≈ 3 105 Дж = 300 кДж !

5. Расчёт эффективной температуры идеального газа, внутренняя энергия которого равна энергии электронного газа при T = 0 К

С классической точки зрения абсолютный ноль (T = 0 К) соответствует ситуации, когда все молекулы остановились и, следовательно, внутренняя энергия равна нулю. С квантовой же точки зрения электронный газ имеет при T = 0 К энергию, приблизительно равную 300 кДж. Какой температуре идеального газа соответствует эта энергия?

Итак,

N ε ид. газа = N ε эл. газа ,

торую имел бы идеальный газ, если бы его внутренняя энергия была равна энергии квантового газа при T = 0 К. Какая колоссальная разница между классическими и квантовыми представлениями!

IV. Влияние температуры на функции распределения

Для большинства металлов εF ≈ 5 эВ. Величина дополнительной энергии, которую сообщает тепловое воздействие, порядка kT. При t = 27°С, т. е. при T = 300 К kT ≈ 0,025 эВ, т. е. kT << εF.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому воздействию и переходят на более высокие энергетические уровни. Однако переходы могут происходить только на свободные уровни, т. е. тепловому воздействию могут подвергаться только электроны, лежащие вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT. Таких электронов около 2%. Электроны более глубоких слоёв тепловому воздействию не подвергаются.

f(εi) 1

С ростом температуры меняется и положение химического потенциала

так как это есть энергия уровня, вероятность заполнения которого равна 1/2. Но так как вплоть до температуры плавления металла kT << εF, можно считать, что химический потенциал µ = εF. Функция распределения по ячейкам примет вид

2kT

f(εi)

1

1/2

2%

ε

εF

Функция распределения по энергиям:

Если же kT ≈ εF (как это имеет место для идеального газа), то функция распределения превращается в функцию Максвелла-Больцмана. Отсюда может ввести ещё один критерий вырождения газа.

F(ε)

Температура вырождения Tв ≈ εkF ≈ 50000 К.

§ 6. Квантовая теория электропроводности проводников

I. Общие положения

В отсутствии электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается функцией Ферми-Дирака, которая симметрична относительно px, py, pz. Это указывает на то, что число электронов, движущихся в противоположных направлениях одинаково и вектор их средней скорости в любом направлении равен нулю. Поэтому несмотря на огромное число свободных электронов тока в металле нет.

При наложении на проводник электрического поля, напряжённость которого E, возникает электрический ток. Под действием поля электроны приобретают упорядо-

ходящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие энергетические уровни, если там есть вакантные места, при этом их импульс меняется с –px до +px. Функция распределения при этом становится несимметричной.

ства, ρ – удельное сопротивление, j – плотность тока. Величина σ для разных веществ лежит в очень широких пределах:

107 Ом−1 м−1дляпроводников,

σ≈ 10−12 Ом−1 м−1для диэлектриков.