Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1632-1636

Итак,

gi = V h∆3Гp .

2

Найдём объём фазового пространства импульсов ∆Γp, соответствующий энергии частиц от ε до ε + dε. Это фазовое пространство трехмерное. Области с определённым

	p2
значением энергии ε =		будет соответство-

	2m0
вать сферический слой радиуса p и толщиной

dp. (Это объём нашего «шестого этажа», высо-
та которого dp.) В пределах этого слоя импульс
всех молекул одинаков, следовательно, одина-
кова и их энергия ε. Тогда	px
	px
∆Гp = ∫∫∫dpx dpy dpz = 4рp2 dp .

pz

dp

p

py

4

3

2

(Объём шара

V =

3

рr

. Тогда объём шарового слоя dV = 4πr dr.) В результате число

ячеек

g =

V ∆Гp

=

V 4рp2 dp

.

h3

2

От импульса p перейдём к энергии ε:

	m0 v	2
ε =	m0 v		,	p	2	= 2m0ε .
ε =			,		2
2

p = m0 v

Продифференцируем это выражение и помножим его на p:

2 p dp = 2m			dε,
		0
p =	2m	ε	.
p =	2m	ε
	0

Получим

p2 dp = 2m0ε m0 dε .

Тогда число ячеек

g =

V

4р 2m0ε m0 dε

.

h3

2

Тогда число частиц с энергией от ε до ε + dε

3 2

ε−µ

dN

= g f (ε

)=

2рV (2m0 )

e

−

dε .

ε

i

kT

h3

2

Химический потенциал найдём из следующего очевидного условия: ∫dNε = N ,

т. е.

∞

µ

ε

∞

ε

3 2

µ

2рV

3 2

kT

−

р

3 2

V (2рm0 kT )

kT

N = ∫

(2m0 )

e

εe

dε

= ∫

εe

dε

=

(kT )

=

e

.

h

3

2

h

3

0

2

Откуда

это константа

µ

N

h3

2

e

kT

=

.

V (2рm0 kT )3 2

Тогда

2рV (2m )3 2

µ

−

ε

2рN

−

ε

dNε =

h3 0

e kT e

kT dε = (2рkT )3 2

εe

kT dε .

2

Итак, число частиц с энергией от ε до ε + dε

2N

−

ε

dNε =

εe

kT dε .

р(kT )3 2

Введём функцию распределения частиц по энергиям, как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергии

F (ε)= dNNdεε .

Тогда

F(ε)=	2	εe−	ε
			kT	.
	р(kT )3 2

F(ε)		Это функция распределения Максвелла-
T1	T1 > T2	Больцмана по энергиям. (Это распре-
	T2	деление по энергиям, а не по ячейкам!)
		деление по энергиям, а не по ячейкам!)
	ε	Площадь под графиком равна 1.

Зная функцию распределения по энергиям, найдём среднее значение энергии, приходящейся на одну частицу:

ε =	∞∫εF (ε)dε	=	3 kT
	0
	∞
	∫F (ε)dε		2

0
– формула, знакомая из молекулярной физики.

Зная, что ε = m02v2 , можно найти функцию распределения молекул по скоростям:

	dN			m						m v2
F(v)=		v			0		2		−	0

			=			4рv		e		2kT .
	Ndv
				2рkT

F(v)

T1

T2

v

§ 4. Статистика Бозе-Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна применима для частиц с целым спином (бозонов). Бозонами могут быть как частицы с массой покоя, равной нулю (m0 = 0), – фотоны, фононы, так и частицы с отличной от нуля массой покоя – мезоны, ядра с чётным числом нуклонов.

Плотность заполнения ячеек велика. Газ вырожден (T < Tкр).

Распределение частиц по энергетическим ячейкам (но не по энергиям) подчиняется закону

f (εi )=		1		.
f (εi )=	ε	−µ		.
	i		−1
	e kT		−1

Здесь µ ≤ 0. Для частиц с массой покоя m0 = 0 µ = 0.

f

	3
µ	1	εi
		εi

I. Фотонный газ

Тепловое излучение

Рассмотрим полость, стенки которой поддерживаются при определённой температуре T. Любое тело излучает электромагнитные волны, интенсивность которых зависит

от температуры стенок T. Это излучение называется тепло-	T
вым излучением. Так как электромагнитное излучение – это
совокупность фотонов, можно говорить о фотонном газе
внутри полости. Фотоны поглощаются и вновь излучаются	hν
стенками. В конечном итоге устанавливается термодинами-
ческое равновесие между фотонным газом (тепловым излу-

чением) и стенками полости. Температура стенок определяет в этом случае температуру фотонного газа.

Итак, тепловое излучение – это электромагнитное излучение, испускаемое телами. Его главной особенностью является то, что оно находится в термодинамическом равно-

AT = 0

0 < AT < 1 AT = 1

весии с излучающим телом. Источником энергии теплового излучения является хаотическое тепловое движение молекул. Пример теплового излучения: излучение Солнца, лампы накаливания и т. д. Излучение люминесцентной лампы не является тепловым излучением.

Характеристики теплового излучения

Спектральная излучательная способность Rν, T – это энергия, излучаемая с еди-

ничной площади поверхности тела в единичный промежуток времени в единичном интервале частот (или длин волн):

	dW		dW
Rν ,T =		или Rλ,T =		.
	dS dt dν
			dS dt dλ

Интегральная излучательная способность RT – это энергия, излучаемая с единич-

ной площади поверхности тела в единичный промежуток времени во всём интервале частот (или длин волн):

RT = ∞∫Rν ,T dν = ∞∫Rλ,T dλ .

0

Поглощательная способность Aν, T и AT – это отношение энергии, поглощённой телом, к падающей на тело энергии:

A = dWпогл .

T dWпад

абсолютно зеркальная поверхность,

серое тело,

абсолютно чёрное тело.

Абсолютно чёрное тело – это тело, поглощающее всю падающую на него энергию во всём интервале длин волн (или частот). Пример тела, которое можно считать абсолютно чёрным: сажа, чёрный бархат, Солнце.

Модель абсолютно чёрного тела: малое отверстие в полости (окна домов, вход в пещеру, смотровое окошко доменной печи и т. д.). Всё падающее через малое отверстие излучение в конце концов

поглощается стенками полости, не выходя наружу.

полость

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: