§ 2. Функция распределения f(εi)
Итак, реальному сосуду с газом мы поставили в соответствие «облако» изобразительных точек, находящихся в абстрактном шестимерном фазовом пространстве, разбитом на ячейки объёмом 1/2h3. (Множитель 1/2 присутствует для того, чтобы в одной ячейке была одна частица.) В зависимости от распределения этих точек по ячейкам будет существовать то или иное макросостояние реальной системы. Введём понятие функции распределения этих точек по ячейкам.
Функция распределения f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками в данной малой области фазового пространства, т. е. это средее число изобразительных точек в пределах данной малой области. (Грубо говоря, это среднее число жильцов в соседних комнатах на данном этаже.)
f (εi )= |
dN (εi ) |
→ числочастиц |
сэнергиейотεi доεi + ∆εi . |
|||
g(εi ) |
→ число ячеек |
|||||
Замечание: Классическая функция распределения – это плотность вероятности по-
падания изобразительной точки в область данной ячейки: fклас = fNh(ε3i ).
Найдём такую заполняемость ячеек, которая соответствовала бы равновесному состоянию системы. Искать её будем, исходя из следующих условий:
Классическая статистика |
Квантовая статистика |
||||||||
4. На размеры ячеек не накладываются 1. |
Исходя |
из |
принципа Гайзенберга |
||||||
никакие ограничения, но, в частности, |
h |
||||||||
3 |
|||||||||
пусть dγ = ½h |
. |
∆x∆px |
≥ |
и |
д. , т. размер |
ячейки |
|||
2 |
|||||||||
dγ > h3. Пусть dγ = ½h3. |
|||||||||
2.Все частицы одинаковы, но различимы, 2. Частицы одинаковы и неразличимы. Пе-
т. е. их можно пронумеровать. Переста- |
рестановка местами частиц не меняет |
новка частиц местами меняет микросо- |
микросостояние системы. |
стояние системы. |
3.Внутри ячейки может быть любое чис- 3. Для фермионов внутри ячейки объёмом
ло изобразительных точек. |
½h3 – только одна изобразительная точ- |
ка. Для бозонов ограничений на число |
|
частиц нет. |
4.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.
Следует подчеркнуть, что данные распределения являются распределениями по энергетическим ячейкам εi, но не по энергиям ε. (Грубо говоря, это распределение по квартирам, а не по этажам.)
§ 3. Статистика Максвелла-Больцмана. Распределение молекул идеального газа по энергиям
Пусть идеальный газ находится в теплоизолированном сосуде объёмом V при температуре T. N – число молекул газа, m0 – масса одной молекулы. Газ не вырожден, т. е. T > Tкр. Тогда функция распределения по ячейкам
имеет вид
f (εi )= e− |
εi −µ |
, |
|||
kT |
εi |
||||
µ |
|||||
где химический потенциал µ < |
0. Кроме того, |
0 |
|||
f(εi) << 1. (На одного жителя приходится много квартир.)
Распределение молекул идеального газа по энергиям
Подсчитаем число частиц dNε, энергия которых лежит в интервале от ε до ε + dε. (Грубо говоря, найдём число жителей, например, на шестом этаже. Высота этажа dε.)
По определению f (εi )= dNε , где dN – число изобразительных точек, а gi – число gi
ячеек, которые соответствуют значению энергии ε. Тогда dNε = f (εi )gi .
Число ячеек в области с энергией ε
gi = ∆hГ3 . 2
Здесь ∆Γ – область фазового пространства, соответствующая энергии частиц от ε до ε + dε; ½h3 – объём ячейки. (Число квартир, например, шестого этажа равно объёму этажа, делённому на объём одной квартиры.)
Очевидно, что в шестимерном пространстве
∆Г = ∫∫∫∫∫∫dx dy dz dpx dpy dpz .
Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты внутри сосуда. Тогда интегрирование можно провести отдельно по координатам и импульсам:
∆Г = ∫∫∫dx dy dz∫∫∫dpx dpy dpz = {первыйинтеграл равенобъёмуV сосуда}=V ∆Гp .