m |
d2 x |
= −kx − r |
dx |
. |
(2) |
|
dt2 |
dt |
|||||
Обозначим 2β = r/m, ω 2 |
= k/m. Тогда уравнение (2) примет вид: |
|||||
0 |
||||||
d2 x + 2β dx + ω02 x = 0 . |
(3) |
|||||
dt2 |
dt |
|||||
Это дифференциальное уравнение описывает свободные затухающие колебания. Решением уравнения (3) является зависимость
x = A e−βt sin(ωt + ϕ |
0 |
), |
(4) |
|||
0 |
||||||
где β = r/2m – коэффициент |
затухания; |
ω = ω02 − β2 |
– |
циклическая |
||
частота свободных затухающих |
колебаний; |
ω0 = k / m |
– |
циклическая |
||
частота свободных незатухающих колебаний (в отсутствие силы трения). Начальная амплитуда A0 и начальная фаза ϕ0 определяются начальными
условиями, т.е. значениями х и ddxt в момент времени t = 0.
График зависимости x(t) представлен на рис. 2. Амплитуда затухающих колебаний A(t) = A0е-βt убывает с течением времени и тем
быстрее, чем больше коэффициент затухания β. Через время τ = β1
амплитуда уменьшается в е раз.
A0
A(t)
A(t+T)
A0e-βt
T |
t |
-A0
Рис. 2
Затухающие колебания не являются строго периодическими, однако
смещение х достигает максимального и минимального значений через
равные промежутки времени: |
|||||||||
T = |
2π |
= |
2π |
. |
(5) |
||||
ω |
2 |
− β |
2 |
||||||
ω0 |
|||||||||
Период свободных |
незатухающих |
колебаний |
T = 2π |
= 2π m / k |
|||||
0 |
ω0 |
||||||||
всегда меньше Т, так как силы сопротивления замедляют движение.
Характеристикой затухания колебаний служит безразмерная величина – логарифмический декремент затухания δ – натуральный логарифм отношения двух амплитуд в моменты времени, разделенные одним периодом:
A(t) |
A e−βt |
T 1 |
|||||
δ = ln |
= ln |
0 |
= βT = τ = |
, |
(6) |
||
A(t + T ) |
A0e−β(t+T ) |
N |
|||||
где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Если на тело кроме упругой силы и силы сопротивления будет действовать еще переменная внешняя сила (вынуждающая сила), то тело будет совершать вынужденные колебания. В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону: Fx = F0 sin Ωt ,
где F0 – амплитуда, a Ω – циклическая частота вынуждающей силы. В течение некоторого промежутка времени (разного в зависимости от величины β системы) происходит наложение вынужденных колебаний и свободных затухающих колебаний – биения, а затем устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой А:
x = Asin(Ωt + ψ0 ), |
(7) |
||
A = |
F0 |
||
. |
(8) |
||
m (ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 |
|||
Циклическая частота вынужденных колебаний равна циклической частоте Ω вынуждающей силы. Если Ω = 0, амплитуда А равна статическому смещению А0 пружины под действием постоянной силы F0:
A = A = |
F0 |
= |
F0 |
. |
(9) |
0 |
mω02 |
k |
|||
С увеличением циклической частоты (Ω → ∞ ) амплитуда А стремится к нулю. При постоянных F0, m и β амплитуда вынужденных
колебаний зависит от соотношения циклических частот вынуждающей силы (Ω) и свободных незатухающих колебаний системы (ω0). Амплитуда достигает максимального значения, когда циклическая частота
вынуждающей силы Ω равна циклической частоте Ωрез = ω02 − 2β2 .
Циклическую частоту Ωpeз называют резонансной, а явление резкого
возрастания амплитуды при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называется резонансом. На рис. 3 показаны
резонансные кривые (β2 < β1).
А
β2<β1
β1
А0
Ωр1 Ωр2 |
Ω |
Рис. 3
1. Описание установки и метода измерений
Пружинный маятник (рис. 4) состоит из спиральной пружины К и груза m обтекаемой формы. Верхний конец пружины соединен нитью, перекинутой через блок О, с эксцентриком, укрепленном на валу мотора М. При вращении мотора маятник совершает вынужденные колебания с частотой, совпадающей с частотой вращения мотора, которую можно изменять при помощи регулятора R. Смещение груза отсчитывается при
помощи указателя Р, передвижных рамок R1 и R2 и шкалы S.
Груз m помещен в цилиндрический сосуд с маслом. Так как сила трения зависит от расстояния между стенкой сосуда и грузом, необходимо следить, чтобы груз двигался по оси сосуда.
В первой части работы изучают характеристики свободных затухающих колебаний. Измеряют время t, необходимое для совершения n полных колебаний, и вычисляют период по формуле T = t/n. Для определения логарифмического декремента затухания δ измеряют по
шкале S амплитуды в моменты времени, разделенные n периодами, At .и At+nT. Тогда
δ = |
1 ln |
At |
. |
(10) |
n |
A |
|||
t+nT |
||||
Во второй части работы изучают характеристики вынужденных колебаний. Включают мотор и постепенно изменяют его частоту Ω. При каждом
положении регулятора частоты мотора измеряют с помощью секундомера период Т вынужденных колебаний, а по шкале S – амплитуду А. Результаты измерений позволяют построить график резонансной кривой (рис. 5).
O |
А |
||
S |
Аmax |
||
К |
R1 |
А1 |
|
R2 |
|||
P |
|||
L |
М |
m |
|
R |
T2 T. рез T1 |
||
Рис. 4 |
Рис. 5 |
По графику резонансной кривой можно определить логарифмический декремент затухания двумя способами:
1)По высоте резонансной кривой. Если в формуле (8) положить Ωpeз
≈ω0 (при β << ω0 ), считая эту частоту резонансной, то
Amax = |
F0 |
. |
(11) |
|||||||||
2mβω0 |
||||||||||||
Из формулы (6) следует, что β = |
δ |
, |
где Т в данном приближении равно |
|||||||||
2π |
T |
|||||||||||
Tрез ≈ T0 = |
. Отсюда β = δω0 / 2π и Аmах= πF0 / mω02δ. Сопоставляя это |
|||||||||||
ω0 |
||||||||||||
выражение и формулу (9), имеем |
πА0 |
|||||||||||
δ = |
. |
(12) |
||||||||||
А |
||||||||||||
max |
||||||||||||
2) По ширине резонансной кривой. Ширину резонансной кривой принято определять как разность между двумя значениями частот Ω1 и Ω2
(по обе стороны от резонансной частоты Ωрез), для которых выполняется
соотношение
A2 |
= |
1 |
A2 . |
(13) |
1 |
2 |
max |
Найдем значения Ω1 и Ω2, удовлетворяющие условию (13). Подставив (8) и (11) в формулу (13), получим биквадратное уравнение
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 = 8β2ω02 . Решая |
это уравнение и оставляя члены, |
||||
содержащие β в первой степени, будем иметь |
|||||
Ω = ω02 ± 2βω0 = ω0 |
1± |
2β |
. |
||
ω0 |
|||||
Отсюда получаем с точностью до членов первого порядка малости |
|||||
Ω1 = ω0 (1− β / ω0 ), |
Ω2 = ω0 (1+ β / ω0 ), |
||||
Ω2 − Ω1 = 2β. |
(14) |
||||
Подставим в (14) значения Ω = |
2π и β = |
δ |
: |
||
T |
T |
||||
δ = πT0 (T1 −T2 ) . |
0 |
||||
(15) |
|||||
T1T2 |
|||||
2.Порядок выполнения работы
1.Определение периода свободных затухающих колебаний. По шкале S
отмечают положение равновесия груза N0 при помощи указателя Р. Задают грузу некоторое смещение x0 = N − N0 . Затем груз отпускают и секундомером измеряют время t, в течение которого груз совершит n = 5 полных колебаний. Измерение повторяют 5 – 7 раз.
2.Определение логарифмического декремента затухания. Рамку R1
устанавливают в положение, соответствующее начальному смещению
N1. Отводят груз из положения равновесия до совмещения указателя Р с указателем рамки R1 и отпускают груз. Когда груз начнет колебаться, рамку R2 подводят к положению N2 указателя Р, которое он будет иметь
вмомент окончания n-го (например, третьего) полного колебания. Измерения повторяют три раза.
3.Снятие резонансной кривой. Включают мотор, установив регулятор частоты R на одно из крайниx положений. Когда колебания
установятся, рамки R1 и R2 на шкале S подводят к крайнему нижнему положению N1 и крайнему верхнему положению N2, которые