многовитковых соленоидах без сердечника, имеют следующие предельные параметры: амплитуда магнитной индукции Bmax = 100 Тл при длительности t0 ≈ 5c. При этом мощ- ность, потребляемая из сети импульсной установкой, обычно не превышает 1-3 кВт. В то же время максимальная мощность в импульсе может достигать сотни мегаватт.
Для получения стационарного магнитного поля с индукцией Bmax = 10 Тл в медном соленоиде с радиусом 1 см при водяном охлаждении потребляется мощность 1 мегаватт [8]. Потребляемая мощность может быть уменьшена при охлаждении катушки до тем- пературы ниже 100 К, при этом электропроводность чистой меди (и алюминия) резко возрастает. При 15 К в случае охлаждения жидким водородом электропроводность ме- ди возрастает в 1000 раз.
В настоящее время постоянные магнитные поля до B = 10 Тл создаются в катушках без сердечников сравнительно легко, особенно с появлением недорогих катушек со сверхпроводящими обмотками.
Уровень B = 50 Тл представляется технически достижимым при использовании со- четания сверхпроводящей катушки и соленоида, охлаждаемого водой [3].
Большие надежды в этой связи возлагаются на новые высокотемпературные сверх- проводящие материалы, обладающие высокими критическими полями.
Существенным ограничением для получения сверхсильных магнитных полей в со- леноидах является механическая прочность материала. Механические напряжения, воз- никающие внутри обмотки (пондеромоторные силы), достигают предела прочности ме- ди при B = 20 Тл.
ЗАДАЧА 2. УСКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [1, 4]
Предлагаемая ниже задача рассматривает движение заряженных частиц в магнит- ном поле с учетом релятивистских эффектов. Методически такое рассмотрение очень полезно, так как задачам, связанным с теорией относительности, уделяется недостаточ- но внимания.
Постановка задачи 2
Магнитное поле в ускорителях частиц служит для создания определенных орбит, по которым частицы движутся. Проектирование ускорителей (циклотронов) заряжен-
ных частиц высоких энергий порядка десятков мегаэлектронвольт и более невозможно без учета законов теории относительности. В частности, период обращения частиц в циклотроне T = 2πm/qB увеличивается вместе с увеличением их релятивистской массы.
Циклотрон (рис. 2.1) состоит из дуантов (два полых металлических полуцилиндра), внутри которых магнитное поле направлено перпендикулярно их основаниям. В зазоре между дуантами действует переменное электрическое поле, которое ускоряет частицы.
Рис. 2.1.
Необходимо, чтобы период изменения электрического поля совпадал с периодом обра- щения частиц в магнитном поле дуантов. Синхронизация может быть достигнута: а) изменением периода (частоты) колебаний электрического поля между дуантами; б) из- менением магнитного поля дуантов таким образом, чтобы период обращения частиц оставался неизменным (m/B = const). Оба способа могут быть использованы одновре- менно.
В данной задаче рассматривается ускоритель (фазотрон) с использованием первого способа синхронизации.
Формулировка задачи 2
Циклотрон ускоряет протоны до значения энергии 76 ГэВ. Магнитное поле одно- родно, постоянно во времени и равно 1,08 Тл. Масса покоя протона m0 = 1,67 · 10-27 кг. Ускоряющее напряжение U = 380 кВ. Найти: 1) радиус R с учетом теории относитель- ности, радиус R0 классической орбиты протона; 2) максимальную скорость vmax, приоб- ретаемую протоном в циклотроне; 3) число оборотов п протона в циклотроне; 4) время τ, в течение которого длится процесс ускорения.
Решение задачи 2
1. Для вычисления классического радиуса движения протона воспользуемся соот-
ношением
m0v2 |
= qvB , R0 |
= |
m0v |
= |
p0 |
, |
|
R 2 |
qB |
qB |
|||||
где p0 – импульс |
протона. |
Поскольку кинетическая энергия W |
к |
= p2 |
(2m |
0 |
), то |
|||
0 |
||||||||||
R0 = W к 2m0 (qB ), |
||||||||||
R0 |
76 ×10 |
9 ×1,6 ×10−19 ×2 ×1,67 ×10 |
−27 |
|||||||
= |
= 36,9 м . |
|||||||||
1,6 ×10−19 ×1,08 |
||||||||||
Теперь найдем радиус в соответствии с основным законом релятивистской динамики:
d æ |
m0 v |
ö |
= q[vB], где |
v |
|||||
ç |
÷ |
β = |
. |
||||||
ç |
1 |
- β |
2 |
÷ |
c |
||||
dt è |
ø |
||||||||
Сила Лоренца перпендикулярна скорости v, абсолютная величина скорости не меняет-
ся, поэтому 1- β 2 = const . Тогда уравнение движения примет вид
m0 dv = q[vB]. 1- β 2 dt
Уравнение совпадает с уравнением движения в нерелятивистском случае, но с реляти-
вистской массой
m = m0 1- β 2 = const .
Поэтому траекторией частицы будет окружность, радиус которой определяется из ус-
ловия
m0 |
v2 |
= qvB , |
|||||||||||
1- β 2 |
R |
||||||||||||
R = |
m0v |
1 |
= |
mv |
= |
p |
, |
(2.1) |
|||||
1- β 2 |
qB |
qB |
qB |
||||||||||
где p – релятивистский импульс:
p = 1c W 2 - m02 c4 , W =W к + m0c2 ,
где Wк – кинетическая энергия частицы.
Тогда W 2 - m02 c4 =W к2 + 2W к m0c2 и p = 1c W к2 + 2W к m0c2 . Откуда
R = |
W к2 |
+ 2W к m0c2 |
, |
(2.2) |
|
cqB |
|||||
R = |
(76 ×109 ×1,6 ×10−19 )2 ×2 ×76 ×109 ×1,6 ×10−19 ×1,67 ×10−27 ×9 ×1016 |
= 237 м . |
|||
3 ×108 ×1,6 ×10−19 ×1,08 |
|||||
2. Максимальную скорость получим, пользуясь следующими формулами:
m |
c2 |
|||
W к = mc2 - m0c2 = |
0 |
- m0c2 |
, |
|
1- β 2 |
||||
W к 1- β 2 = m0c2 - m0c2 1- β 2 ,
(W к + m0c2 )2 1- β 2 = m0c2 .
Возведем левую и правую части в квадрат:
2 |
2 |
æ |
2 |
ö |
2 |
4 |
|||
ç |
vmax ÷ |
||||||||
(W к + m0c |
) |
ç1- |
÷ |
= m0 c |
, |
||||
c |
2 |
||||||||
è |
ø |
||||||||
(W к + m0c2 )2 (c2 - vmax2 )= m02 c6 ,
vmax2 |
c2 (W |
к |
+ m |
0 |
c2 )2 |
- m2 c6 |
||||||||||||||||
= |
0 |
. |
||||||||||||||||||||
(W к + m0c2 )2 |
||||||||||||||||||||||
Окончательно |
||||||||||||||||||||||
vmax = c |
1- |
m02 c |
4 |
, |
(2.3) |
|||||||||||||||||
(W к + m0c2 )2 |
||||||||||||||||||||||
vmax = 3,0 |
×10 |
8 |
1 |
- |
1,672 |
×10−54 ×34 ×1032 |
= 2,99978 |
×10 |
8 |
м с , |
||||||||||||
(76 ×10 |
9 ×1,67 ×10−19 |
+1,67 ×10 |
−27 |
×9 ×1016 )2 |
||||||||||||||||||
т. е. скорость протона становится ультрарелятивистской.
3. Число пролетов N протона между дуантами найдем из уравнения
W к = NqU ,
Число оборотов N в два раза меньше числа пролетов, т. е.
n= N 2 =105 .
4.Считая период обращения на всех витках приблизительно одинаковым (второй способ синхронизации) и пренебрегая шириною ускоряющего промежутка (рис. 3.1), найдем время движения протона в циклотроне (значения R и vmax соответственно берем из п. 1 и 2):
τ= nT = n 2πR = 0,496 с .
vmax
Обсуждение
Значение энергии частицы, равное 76 ГэВ, приведено в данной задаче не случайно. Построенный в 1967 г. ускоритель в Серпухове позволяет увеличивать кинетическую энергию протонов как раз до этого значения (76 ГэВ). Скорость протонов, обладающих такой энергией, отличается от скорости света в вакууме приблизительно на 0,007%. В этих условиях невозможно обойтись без применения законов теории относительности.
Учет релятивистского эффекта привел к возрастанию радиуса движения частицы почти в 6,5 раз. При этом длина окружности магнита должна быть равной ~ 1500 м.
Интересно оценить, как изменяется частота электрического поля, подаваемого на ускоряющие электроды. В начале ускорения m = m0 и ν0 = 1/T0, а так как T0 = 2πm/qB, то
ν0 = |
qB |
= |
1,6 ×10−19 ×1,08 |
=16,5 МГц . |
||
2πm0 |
6,28 ×1,67 |
×10−27 |
||||
В конце ускорения ν = 1/T = v/2πR. Подставляя R из формулы (2.1), получим
ν = |
vqB |
. |
|||||||||
2πp |
|||||||||||
Поскольку p = Wv/c2, то ν = |
pc2 |
. Тогда |
|||||||||
W |
|||||||||||
τ = |
pc2 qB |
= |
pc2 qB |
, |
|||||||
2πp(W к + m0c2 ) |
|||||||||||
2πpW |
|||||||||||
ν = |
1,6 ×10−19 ×1,08 ×9 ×1016 |
= 0,20 МГц . |
|||||||||
6,28× (76 ×109 ×1,6 ×10−19 |
+1,67 ×10−27 ×9 ×1016 ) |
||||||||||
Следовательно, для синхронной работы ускорителя требуется изменить частоту элек- трического поля.
Самый мощный в настоящее время ускоритель – протонный синхротрон – находит- ся в лаборатории Ферми в Батавии (около Чикаго). Он ускоряет протоны до энергии
400 ГэВ.
ЗАДАЧА 3. МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИБОР [5, 10]
Постановка задачи 3
В электромеханических измерительных механизмах используется действие маг- нитного поля на ток, поэтому при решении задач по теме «Действие магнитного поля на ток и движущийся заряд» следует рассматривать задачи, касающиеся принципов действия и устройства различных электроизмерительных приборов.