Для работы источника тока |
|||
XIdt = U 2dC = |
ε0α |
U 2dϕ . |
(8) |
1 |
d |
||
Энергия поля равна W = C1U2/2, а ее изменение с учетом (1) запишется |
|||
dW = ε0αU2dφ/(2d). |
(9) |
||
Пренебрегая теплотой Джоуля-Ленца и учитывая (5), (8) и (9), из уравнения (3) имеем
M = |
ε0α |
U 2 . |
(10) |
2d |
|||
Сектор подвешен на упругой нити. Поэтому на него, кроме момента сил поля, действу- ет момент сил упругости со стороны закрученной нити, равный
Mупр = – kφ, |
(11) |
где k – модуль кручения нити. |
|
Угол отклонения определяется из условия равновесия сектора, т. е. |
|
M + Mупр = 0. |
(12) |
Подставив (10) и (11) в уравнение (12), получим расчетное выражение для величины угла отклонения:
ϕ = |
ε αU 2 |
= |
8,85 ×10−12 ×1,1×10−3 × 25 ×106 |
. |
(13) |
||
0 |
2 × 2 ×10−3 |
×5 |
×10−5 |
||||
2dk |
|||||||
6. Обсуждение
Рассматривая результаты решения задачи 8.1 (см. рис. 17), можно предположить случай, когда вольтметр отключается от источников тока, т. е. заряды проводников не изменяются. Тогда для энергии электрического поля воспользуемся формулой
W = Q12 (2C1 )+ Q22 (2C2 ). Продифференцировав это выражение, зная dC1 и dC2, найдем изменение энергии поля при повороте сектора (3-3) на угол dφ:
dW = ε20dα [V 2 - (V -U )2 ]dϕ .
Механическая энергия, как и в первом случае, равна dA = – Mdφ. Из закона сохранения энергии dA + dW = 0 получим, что момент силы, действующий со стороны поля на сек- тор, равен
M = ε20dα [V 2 - (V -U )2 ],
т. е. и в этом случае, когда заряды проводников не изменятся, момент положителен.
При включении вольтметра, как показано на рис. 18, из анализа формулы (13) зада- чи 8.2 следует, что данный метод измерения напряжения является абсолютным мето- дом. По известным механическим величинам определяется электрическая. Кроме того, из формулы (13) видно также, что φ ~ U2, т. е. отклонение не зависит от знака разности потенциалов. Поэтому в такой схеме электростатический вольтметр может служить для измерения переменного напряжения.
Следует отметить также, что энергетический подход к решению данной задачи не случаен. Иногда в силу сложности учета краевых эффектов электрических полей про- сто невозможно определить пондеромоторные силы. В то же время применение закона сохранения энергии, как например, в рассмотренном случае, позволяет это сделать.
ЗАДАЧА 9. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА В ПЛАЗМЕ [3]
1. Постановка задачи
Под плазмой понимают такое состояние вещества, в котором оно
содержит свободные электроны и компенсирующие их отрицательный заряд, неподвижные или малоподвижные ионы. Можно говорить о плазме в металле, полупроводнике или газовом разряде. Известно, что на высоте 200-400 км над поверхностью Земли имеются слои ионосфе-
Рис. 19. ры, которые представляют собой ионизированную плазму, обязанную своим возникновением ультрафиолетовому излучению Солнца и космическим лучам.
Существует три характерных промежутка времени в плазме: 1) среднее время сво- бодного пробега электронов τ; 2) время релаксации τр, характеризующее время, за кото- рое рассасывается объемный заряд в плазме при нарушении в каком-то месте равенства концентрации электронов и ионов; 3) период плазменных колебаний τп, определяющий возможные частоты колебаний электронов в плазме.
Из классической теории электропроводности известно, что проводимость σ связана с τ соотношением σ = q2nτ/m (n – концентрация электронов; q – их заряд; m – масса).
Время релаксации можно оценить, рассматривая время разряда заряженного кон- денсатора, если между его обкладками образована плазма.
Период плазменных колебаний находится, если рассмотреть плоский слой плазмы и предположить, что слой электронов в начальный момент смещен относительно слоя ионов на расстояние x (рис. 19), и написать уравнение движения электронов, пренебре- гая столкновениями.
2. Формулировка задачи
Считая заданными концентрацию электронов и ионов в плазме и диэлектрическую проницаемость ε, найти τр и τп, а также установить связь между ними.
3. Решение
При определении τр считаем, что плоский конденсатор емкости C = ε0εs/d заряжен зарядом Q. При возникновении между обкладками плазмы протекает ток I = U/R, где
R= d/σs – сопротивление плазмы. Конденсатор разрядится за время порядка τр, равное
τр = Ql = UQ R = RC = εσ0ε .
Оценивая τп, обращаясь к рис. 19, видим, что при смещении слоя электронов на не- большое расстояние x на краях возникает тонкий слой поверхностного заряда с плотно- стью nxq. Заряд создает поле E = qnx/ε0ε, возвращающее электроны обратно. Уравнение
движения электрона
m d 22x = −qE = − q2n x dt ε0ε
аналогично уравнению колебаний массы на пружинке
m d 22x = −kx . dt
Сравнение показывает, что k = q2n , так что период колебаний |
||||||||
ε ε |
||||||||
0 |
||||||||
τ |
= |
2π |
= 2π |
m |
= 2π |
mε0ε |
. |
|
п |
ω |
k |
||||||
nq2 |
||||||||
Прямой проверкой убеждаемся, что |
||||||||
τп = 2π |
τрτ . |
|||||||
4. Обсуждение
Из теории распространения электромагнитных волн известно, что они хорошо от- ражаются от плазмы, если их период больше τп, и проникают в нее при T < τп. Отсюда следует, что сквозь ионосферу (n ≈ 1012-1014 м-3) проходят радиоволны с частотой, большей 10-30 МГц, а металлы (n ≈ 1028 м-3) перестают отражать свет с длиной волны, меньшей ≈ 100 нм (ультрафиолет), ε = 1.