Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ЗАДАЧА 7. КУЛОНОВСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЯДРА [3, 7, 8]

1. Постановка задачи

Электростатическая энергия ядра играет большую роль в исследовании свойств яд- ра. Эта энергия дает основной вклад в энергию, выделяющуюся три распаде ядер.

Ядро атома можно представить в виде равномерно заряженного шарика, радиус ко- торого определяется эмпирической формулой R = R0A1/3, где R0 ≈ 1,2 · 10-15 м; A – число нуклонов в ядре3.

2. Формулировка задачи

Считая ядро равномерно заряженным шариком радиуса R = R0Al/3, рассчитать его электростатическую энергию W.

3. Решение

Электростатическую энергию равномерно заряженного шара можно рассчитать как энергию поля внутри шара и вне его (см. задачу 6). Но существует и другой способ.

Рассчитаем электростатическую энергию ядра по работе, затраченной на то, чтобы «собрать» равномерно заряженный шар из бесконечно удаленных зарядов. Будем соби- рать шар, наслаивая друг на друга заряд dQ и размещая его тонким слоем от r до r + dr, пока не получим радиус R.

Пусть Qr – заряд шара, когда его радиус равен r, φr – его потенциал. Тогда работа перемещения заряда dQ из бесконечности на шар равна

δA = dQ ×ϕr = dQ Qr . 4πε0r

Если объемная плотность заряда равна ρ, то Qr = ρ 43πr3 ; dQ = ρ4πr2dr . Тогда

δA = ρ4πr2dr ρ4πr3 = 4πρ2r4 dr . 4πε0 3r 3ε0

Полная электростатическая энергия шара радиуса R равна

W = òR 4πρ2r4 dr =		4πρ2	R5	.

0	3ε0	3ε0 5

3 * Интересно отметить, что величина радиуса ядра имеет тот же порядок, что и класси- ческий радиус электрона.

Учитывая, что полный заряд шара равен Q = ρ 34πR3 , получим

W =	3	Q2	.
	5 4πε0 R

Для ядра с зарядом Q = zq, где z – число протонов в ядре, имеем

W= 3 (zq)2 .

5 4πε0R

Однако для небольшого числа протонов это уравнение не совсем правильно.

Из этой энергии следует вычесть энергию действия протона «самого на себя», т. е. отдельных его «частей» при «сборке» ядра. Энергия, соответствующая протону, заряд которого равномерно распределен по шару радиуса R, равна

Wp =	3	q2	.
	5 4πε0 R

Для z протонов эта энергия в z раз больше. Следовательно, электростатическая энергия

кулоновского взаимодействия протонов в ядре равна

W =

3 z(z -1)q2

= 0,72

z(z -1)

МэВ .

5 4πε

R A1 3

A1 3

4. Обсуждение

Энергия, выделяющаяся в ядерной реакции деления, обусловлена, главным обра- зом, электростатической энергией ядра.

Подсчитаем электрическую энергию, выделяющуюся в ядерной реакции деления:

		U235 (n,3n)Kr91 Ba142
		92	36	56
ìm 235		= 235,118 а.е.м.	ì m	= 90,934 а.е.м.
í	U		í Kr
î	mn = 1,009 а.е.м.		îmBa	= 141,955 а.е.м.
Σm1 = 236,127 а. е.	м.;	Σm2 = 235,9 16	а. е.	м.; m = 0,211 а. е. м.; E = mc2 =

= 931 m а. е. м. [МэВ] = 931 · 0,211 = 200 МэВ.

Подсчитаем изменение электростатической энергии ядер в этой реакции:

		W		235	= 0,72	92 ×91	= 976,8 МэВ ;
			U			2351 3
W	= 0,72	36 ×35	= 201,7 МэВ ; W					= 0,72	56 ×55	= 425,1МэВ ;
Kr		911 3					Ba		1421 3

W = 350 МэВ.

Часть этой энергии выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся час- тиц (200 МэВ), а часть тратится на изменение поверхностной энергии ядер и др.

ЗАДАЧА 8. СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ВОЛЬТМЕТРЕ [4]

1. Постановка задачи

На тела, помещенные в электрическое поле, действуют пондеромоторные силы. На этом принципе устроены электростатические вольтметры. Большим преимуществом

таких вольтметров является возможность их применения для измерения напряжения маломощных источников тока. Обу- словлено это тем, что во время измерения напряжения через прибор не протекает постоянный ток. Особенно часто их при- меняют для измерения высоких напряжений.

На рис. 16 изображена схема электростатического вольт- метра, представляющего собой систему двух конденсаторов Рис. 16. (1-1) и (2-2). Конденсаторы выполнены в виде четырех квад-

рантов круга и представляют собой пустотелые металлические коробки. Соединяются квадранты крест накрест друг с другом.

Внутри коробок может перемещаться легкий сектор (3-3) выполненный в форме восьмерки из тонкой алюминиевой фольги. При перемещении сектора (3-3) изменяется взаимная электрическая емкость конденсатора (1-1) и (2-2). Сектор подвешен на упру- гой нити с маленьким зеркальцем, позволяющим производить отсчет угла поворота сектора. Квадранты с сектором размещены внутри замкнутого заземленного металли- ческого корпуса, имеющего лишь небольшое окно для наблюдения за зеркальцем сек- тора. Измеряемая разность потенциалов U подается на квадранты (2-2). Квадранты (1- 1) заземляются, и их потенциал φ1 = 0. На сектор (3-3) подается вспомогательное по- стоянное напряжение V > U. В этой схеме чувствительность вольтметра может дости- гать значений 10000 делений/В и выше. При измерении высоких напряжений исполь- зуют другую схему включения вольтметра, в которой вспомогательное напряжение V отсутствует, а сектор (3-3) присоединяют к одному из квадрантов. В этом случае вольт- метр обладает низкой чувствительностью, но может служить электростатическим вольтметром переменного тока.

2. Формулировка задачи 8.1

Найти момент силы M, с которой электрическое поле действует на сектор прибора, если измеряемая разность потенциалов равна U, вспомогательное напряжение V, рас-

Рис. 17.

стояние между сектором и стенками коробок квадрантов d. Схема подключения вольт- метра показана на рис. 17.

3. Решение 8.1

Предположим, что сектор повернут на некоторый угол φ относительно симметрич- ного положения (рис. 16). Вычислим момент сил, с которыми электрические поля дей- ствуют на сектор со стороны конденсаторов. Полагаем, что поверхность сектора равна S0, считая обе стороны. Тогда площадь пластин первого конденсатора S1 = S0/2 + αφ, а площадь пластин второго конденсатора S2 = S0/2 + αφ, где α – постоянная. Емкости

конденсаторов выражаются формулами

C =

0 ç

+αϕ ÷

; C

-αϕ ÷ .

(1)

d è

Для энергии электрического поля имеем
	1			1		2	ε	0	æ	S	0	ö
W =		C V 2	+		C	(V -U ) =			ç			+αϕ ÷V 2	+
	2			2						2
		1			2		2d è					ø

ε	0	æ	S	0	ö	2
		ç			-αϕ ÷(V -U ) .		(2)
			2
2d è					ø

Рассмотрим случай, когда потенциалы проводников не изменяются, т. е. электроды остаются присоединенными к источникам тока. При перемещении проводников изме- няется их взаимная электрическая емкость, и поэтому, чтобы потенциалы оставались постоянными, к ним нужно либо подводить, либо убирать с них некоторые заряды. При этом каждый из источников тока будет совершать определенную работу, равную

Aист = SdQ = ΞIdt, где Ξ – ЭДС соответствующего источника; I – сила тока; dt – время перемещения. В соединительных проводах и внутри источников будет существовать электрический ток и будет выделяться теплота Джоуля-Ленца, равная I2Rdt. Кроме это- го, будет произведена некоторая механическая работа dA, и произойдет изменение энергии поля dW. В соответствии с законом сохранения энергии имеем

ådAист = dA + dW + åI 2 Rdt .

(3)

Работа источников тока равна ådAист = V 2dC1 + (V −U )2 dC2 . Продифференцировав вы-

ражения (1) и найдя dC1 и dC2, можно записать

ådAист	=	ε0α		[V 2 − (V −U )2 ]dϕ .		(4)

		d
Механическая работа
		dA = Mdφ.				(5)
Дифференцируя выражение (2), находим изменение энергии поля
dW =	ε0α		[V 2 − (V −U )2		]dϕ .	(6)

	2d

Предполагая, что сопротивление R бесконечно мало, перемещение зарядов, обуслов- ленное изменением емкости, происходит очень медленно, пренебрегаем потерями теп- лоты Джоуля-Ленца. Тогда с учетом (4), (5), (6) из уравнения (3) имеем

M =	ε0α	(2VU −U 2 ).	(7)

	2d

Этот момент .положителен, т. е. он поворачивает сектор в сторону увеличения угла φ. Сектор втягивается в ту коробку квадрантов, для которой разность потенциалов между сектором и коробкой наибольшая.

4. Формулировка задачи 8.2

Найти значение утла φ поворота сектора прибора, включенного по схеме, изобра- женной на рис. 18. Параметры прибора: α = 1,1 · 10-3 м2; d = 2 · 10-3 м; модуль кручения нити k = 5 · 10-5 Н · м. Измеряемое напряжение 5 кВ.

Рис. 18.

5.Решение 8.2

Вданном случае вспомогательный источник напряжения V не применяют, а сектор

(3-3) присоединяют к квадрантам (2-2), в этом случае V = U.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: