Сила, перпендикулярная к скорости движения, не меняет величину скорости, но меняет ее направление. Траекторией движения является окружность, центр которой лежит на оси цилиндра.
По 2-му закону Ньютона
n
ma = åFi = qE ,
i=1
где m – масса электрона.
В проекции на ось y, направленную к центру окружности, man = m vr2 = qE ,
где v – скорость электрона, равная начальной скорости; r – радиус окружности. Напряженность электрического поля E и разность потенциалов между обкладками
цилиндрического конденсатора |
U |
находим |
по формулам E = τ/(2πε0r); |
||||||||||||||||
U = τ ln |
R2 |
(2πε0 ) (см. решение задачи 3). Тогда |
|||||||||||||||||
R1 |
|||||||||||||||||||
m v2 |
= qE = |
qU |
; |
||||||||||||||||
r |
r ln |
R2 |
|||||||||||||||||
R |
|||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||
mv2 ln |
R2 |
||||||||||||||||||
U = |
R |
. |
|||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||
q |
|||||||||||||||||||
Начальная скорость электрона определяется по закону сохранения энергии: |
|||||||||||||||||||
mv2 |
= A = qU |
0 |
; |
v = |
2qU0 |
; |
|||||||||||||
2 |
поля |
m |
|||||||||||||||||
U = m2qU0 |
ln |
R2 |
= 2U0 ln |
R2 |
. |
||||||||||||||
mq |
R1 |
R1 |
|||||||||||||||||
4.Обсуждение
Взависимости от величины энергии частиц используют конденсаторы с различны-
ми геометрическими размерами. При энергии частиц ≈ 1 эВ радиусы цилиндров R1 = 10 мм, R2 = 15 мм, ширина входной и выходной щелей равна 0,5 мм. Высота цилиндров h = 4 мм. При исследовании высокоэнергетических частиц до 50 МэВ радиус основной траектории 2 м, зазор между электродами 1 см.
Если пучок частиц содержит частицы разных энергий, то, меняя разность потен- циалов между обкладками конденсатора, мы можем фокусировать в одной и той же точке частицы разных энергий.
В спектрометре, установленном на борту искусственного спутника Земли «Мол- ния-1», предназначенного для измерения энергии электронов и протонов в диапазоне энергий 1-20 кэВ, средний радиус обкладок 8см, ширина зазора 0,4 см.
Анализ энергетического спектра пучка заряженных частиц является одним из важ- ных методов, используемых во многих физических приборах.
ЗАДАЧА 6. КЛАССИЧЕСКИЙ РАДИУС ЭЛЕКТРОНА [7]
1.Постановка задачи
Вклассической физике электрон рассматривается как заряженный шарик, заряд ко-
торого равномерно распределен по объему. В СТО известно соотношение E = mc2, свя- зывающее энергию и массу частицы. Считая, что вся энергия электрона есть энергия его электростатического поля, получаем возможность найти радиус электрона.
2. Формулировка задачи
Исходя из классических представлений об электроне, найти его классический ра- диус R, если m0 = 9,1 · 10-31 кг – масса покоя электрона; q = 1,6 · 10-19 Кл – его заряд; c = 3 · 108 м/с – скорость света в вакууме.
3. Решение
По условию задачи энергия покоя электрона его равна электростатической энергии
W
m0c2 = W.
Электростатическую энергию электрона (равномерно заряженного шарика) можно, на- пример, рассчитать, используя выражение объемной плотности энергии электростати- ческого поля w = ε0E2/2. Для этого предварительно найдем напряженность электриче- ского поля внутри Е1 и вне E2 электрона по теореме Гаусса. Получим
E1 = |
qr |
; E2 = |
q |
, |
4πε0 R3 |
4πε0r2 |
где r – расстояние от центра заряженного шарика. Тогда энергия электростатического
поля электрона равна
ε0E12 |
ε0E22 |
R ε0 |
æ |
qr |
ö2 |
2 |
∞ ε0 |
æ |
q |
ö2 |
2 |
||||||||||||
W = ò |
dV + ò |
dV = ò |
ç |
÷ |
4πr dr + ò |
ç |
÷ |
4πr dr = |
|||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
ç |
4πε0R |
÷ |
ç |
4πε0r |
2 ÷ |
|||||||||||||||
V1 |
V2 |
0 |
è |
ø |
R 2 |
è |
ø |
||||||||||||||||
q2 |
R5 |
q2 |
1 |
3 q2 |
. |
||||||||||||||||||
= |
+ |
= |
5 |
||||||||||||||||||||
2×4πε0 R6 |
5 |
2×4πε0 |
R |
4πε0 R |
|||||||||||||||||||
Приравниваем энергию покоя электрона его электростатической энергии:
m c |
2 |
= |
3 q2 |
. |
|
5 4πε0 R |
|||||
0 |
|||||
Отсюда классический радиус электрона равен
3 |
q2 |
3 1,62 |
×10−38 ×9×109 |
||||||||||
R = |
= |
−31 |
16 = 1,69×10−15 |
м . |
|||||||||
5 4πε |
m c |
2 |
5 9,1×10 |
×9 |
|||||||||
0 |
×10 |
||||||||||||
0 |
|||||||||||||
4. Обсуждение
Классическая теория имеет определенные границы применимости. Хорошо объяс- няя одни опытные факты, она вступает в противоречие с другими.
Так представление об электроне как о заряженном шарике не подтверждается ря- дом опытных фактов, из которых, в частности, следует, что величина гиромагнитного отношения собственных магнитного и механического моментов электрона не соответ- ствует гиромагнитному отношению, которое должно иметь заряженный вращающийся шарик. Вследствие чего следует считать, что спин электрона обусловлен не вращением, а является таким же неотъемлемым свойством электрона, как его заряд и масса. Т. е. представление об электроне как о заряженном шарике определенного радиуса – непра- вомерно.
В подтверждение этого положения приведем следующие численные оценки. По
классическим представлениям момент импульса электрона
L = Iω = 52 m0 R2 Rv = 0,4m0vR ,
L = 0,4 · 9,1 · 10-31 · v · 1,7 10-15,
где v = ωR – скорость электрона на «экваторе».
С квантовой точки зрения L ~ ħ = 1,06 · 10-34 Дж · с. Из этих двух формул получаем,
что v = 1,06 · 10-34/0,4 · 9,l · 1,7 · 10-46 ≈ 1,7 · 1011 м/с, т. е. скорость электрона больше скорости света, а это противоречит постулатам специальной теории относительности.