вспомогательную гауссову поверхность (рис. 5) и проделав все необходимые операции,
получим для a < r < b |
|
Dr = τ/(2πr) и Er = τ/(2πε0εr); |
(1) |
для r > b и τ < a D = 0, E = 0. |
В условиях электростатики поле внутри (r < α) центрального проводника равно ну- лю. Однако и в случае быстропеременных процессов, т. е. токов высокой частоты, тоже можно пренебречь полем внутри центральной жилы (скин-эффект). Концентрация тока на поверхности проводника приводит к тому, что сплошной провод начинает вести се- бя как полый. Разность потенциалов обкладок находим из интегральной связи между E
и φ
U = |
τ |
ln |
b |
. |
(2) |
|||
2πε0ε |
||||||||
a |
||||||||
Разность потенциалов между внутренним цилиндром и произвольной точкой A, |
||||||||
расположенной между цилиндрами (рис. 5), получим из выражения |
||||||||
U '= |
τ |
ln |
r |
. |
(3) |
|||
2πε0ε |
||||||||
a |
||||||||
Рис. 6. Рис. 7.
Зависимости Er(r) и φ(r) представлены графиками на рис. 6.7. По определению ем-
кости |
|||||||||||
C = |
Q |
= Q 2πε0ε . |
(4) |
||||||||
ϕa −ϕb |
|||||||||||
τ ln |
b |
||||||||||
a |
|||||||||||
Так как Q = tl, то емкость, приходящаяся на единицу длины: |
|||||||||||
C |
= |
2πε0ε . |
|||||||||
l |
ln |
b |
|||||||||
a |
|||||||||||
4. Обсуждение
Практический интерес представляет расчет кабелей, применяемых в схемах для со- единения различных приборов (осциллографов, электронных вольтметров). Особенно
Рис. 8.
важно знать значение емкости кабеля при работе с цепями, потребляющими малый ток. Так, например, в одной из лабораторных работ студентам предлагается определить
емкость и диэлектрическую проницаемость для некоторых типов конденсаторов по следующей схеме (рис. 8). При включении в цепь только электронного вольтметра (ЭВ) расчет дает значение емкости Cэв = u0/(2πνuэвR) = 100 пФ (u0 и uэв – амплитудные значе- ния напряжения на генераторе и электронном вольтметре соответственно; ν – частота генератора). При подключении исследуемого конденсатора значение емкости цепи воз- растает до C = 220 пФ. Так как ЭВ и конденсатор соединены параллельно, то, следова- тельно, Cx = 120 пФ. В случаях, когда емкость конденсатора сравнима с емкостью кабе- ля, последнюю учитывать просто необходимо. Приведем еще численный пример. Теле- визионный кабель РК-75-4-15 имеет следующие характеристики: a = 0,36 мм; b = 2,3 мм; ε = 2,5. Следовательно, емкость кабеля на единицу длины равна 75 пФ.
Рассмотрим вопрос, связанный с пределом частот, при котором емкость кабеля можно еще рассчитывать по приведенной выше формуле. В этом случае мгновенное значение силы тока должно быть одно и то же в любом месте линии. Данное условие выполняется, если за время t, в течение которого изменение тока и напряжения переда- ется от одного конца линии до другого, значения токов и напряжений изменились бы незначительно. Это соответствует условию l < λ/4, где λ – длина волны, тогда l < c/(4ν), a ν < c/(4l). Для обычного лабораторного контура l ≈ 1 м и ν < 3 · 108/4 ≈ 108 Гц. Пользу- ясь аналогией, существующей между электростатическим полем и полем стационарных токов в однородной проводящей среде, находящейся между электродами, интересно рассмотреть вопрос о сопротивлении утечки кабеля.
Подставив значение τ = 2πε0εuln ba в формулу напряженности, получим
E = |
u |
1 . |
||
ln |
b r |
|||
a |
||||
Плотность тока j из закона Ома в дифференциальной форме равна
j |
= γE = |
uγ 1 |
, |
||||
ln |
b r |
||||||
a |
|||||||
где γ – удельная электропроводность среды. |
|||||||
Величина тока I = js, где s = 2πrl, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра ра- диуса r, высотой l, проходящего между обкладками кабеля,
I = j2πrl = |
γu |
2πrl |
= |
2πγl u . |
||||
b |
r |
|||||||
ln |
ln |
b |
||||||
a |
a |
|||||||
Отсюда легко найти сопротивление проводящей среды между коаксиальными цилинд- рами b и a:
U |
ln |
b |
||||
R = |
= |
a |
. |
|||
l |
||||||
2πγl |
||||||
Этими двумя последними формулами пользуются для вычисления тока и сопротивле- ния утечки кабеля.
ЗАДАЧА 4. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО СЛОЯ И P-N-ПЕРЕХОДА. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ И ЕМКОСТЬ P-N-ПЕРЕХОДА [5]
Из заголовка видно, что эта задача, как и предыдущая, фак- тически состоит из трех самостоятельных задач, связанных с нахождением: а) напряженности поля; б) разности потенциалов, в) емкости. Ценность этой задачи заключается в том, что тради- ционная задача о плоском равномерно заряженном слое из аб- страктной превращается в конкретную модель p-n-перехода.
1. Постановка задачи
Контакт полупроводников различных типов проводимости (p-n-переход) обладает рядом особенностей, благодаря которым
он широко применяется в современной электронике в таких устройствах, как диоды, транзисторы, микросхемы, фото- и термопреобразователи, датчики радиоактивных излучений и т. д. Большое практическое значение имеют переходы с очень
тонкой переходной областью, в которой изменение концентрации примесей носит рез- кий (ступенчатый) характер (рис. 9).
Пусть левая часть объема полупроводника (рис. 9) обладает проводимостью n-типа (донорная примесь), а правая часть – проводимостью p-типа (акцепторная примесь). Электроны из n-полупроводника, где их концентрация выше, будут диффундировать в p-полупроводник, где их концентрация ниже. Диффузия дырок происходит в обратном направлении. Это перемещение приводит к появлению в n-области нескомпенсирован- ного положительного объемного заряда, создаваемого донорной примесью, а в p- области – отрицательного объемного заряда, создаваемого акцепторной примесью. На границе p-n-перехода образуется двойной электрический слой, контактное электриче- ское поле Eк которого создает потенциальный барьер, препятствующий дальнейшей диффузии электрических зарядов.
Таким образом, на границе p-n-перехода устанавливается контактная разность по- тенциалов φк. Можно сказать, что поле Eк выталкивает подвижные заряды: электроны
– вглубь электронного, а дырки – вглубь дырочного полупроводника. В результате пе- реходный слой оказывается сильно обедненным обоими носителями тока. Поэтому, не-