Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1247-1251

ì		qnr		, 0 < r < R
ï
ï		2ε
ï		2ε	0
E r (r)= í	qnR		2
ï	qnR				, R < r < ¥.
ï					, R < r < ¥.
ï	2ε 0 r
î	2ε 0 r

Так как заряд электрона q отрицателен, то напряженность поля направлена к оси ци- линдра против направления r. На рис. 3 показана зависимость Er(r). На заряд q, нахо- дящийся на расстоянии r от оси пучка, действует сила, равная F(r) = qE(r). Так как за- ряды в пучке отрицательные, то сила будет иметь противоположное направление по сравнению с направлением вектора напряженности, т. е. от оси цилиндра по радиусу.

Эта сила приведет к радиальному движению заряда пучка и тем самым к расплыванию пучка, т. е. увеличению начального радиуса пучка с течением времени.

Уравнение динамики радиального движения заряда в пучке имеет вид

m	dv	r	= qE =	q2 nr		, 0 < r ≤ R,
	dr			2ε	0

где m – масса электрона; vr – мгновенная радиальная скорость. При расплывании пучка его ток сохраняется: I = qnv||πR2. Здесь I – ток пучка; v|| – продольная скорость электро- нов пучка, постоянная по сечению. В условиях постоянства тока при увеличении ра- диуса пучка будет падать концентрация зарядов. Выражая концентрацию зарядов через постоянный ток пучка n(t) = I/[qv||πR2(t)], перепишем уравнение радиальной динамики в

виде

d 2 r	=		qIr	.
dt 2		2ε	0v\|\|πR 2 m

Для точек границы пучка имеем r = R; следовательно, для динамики расплывания пучка получаем уравнение2


	d 2 R		=		K	,	(1)
	dt 2		=		R	,	(1)
	dt 2				R
где
K =				Iq			> 0 .
K =		2ε 0v\|\|πm					> 0 .

2 Хотя n при расплывании пучка меняется, уравнение для внешней границы пучка остается правильным, так как суммарный заряд внутри пучка сохраняется.

Полученное дифференциальное уравнение является исходным при описании динамики расплывания пучка.

Прежде чем привести точное решение уравнения динамики расплывания, построим его решение в предположении, что расплывание пучка слабое, т. е. в правой части уравнения (1) приближенно можно считать R ≈ R0. Тогда

d 2 R	=	K	.	(2)
dt 2		R0

За начальный момент времени выберем такой, когда радиальная скорость электрона

равна нулю (момент вылета электрона из электронной пушки), т. е.	dR	= 0 .
	dt
		t =0

Интегрируя уравнение (2) в пределах от 0 до t, получаем

dR = K t . dt R0

Вторичное интегрирование в тех же пределах

Рис. 4.	òt		dR	dt = òt	K	tdt
	òt			dt = òt		tdt
	0		dt	0	R0
дает
R - R0 =	K	t 2 .			(3)
R - R0 =	2R0	t 2 .			(3)
	2R0

где R – текущее значение радиуса пучка в произвольный момент времени; R0 – началь- ное значение радиуса пучка в момент t = 0. На рис. 4 показан профиль расплывающего- ся пучка (пунктирные линии соответствуют более точному решению, которое приведе- но ниже).

4. Обсуждение

Для численной оценки расходимости воспользуемся данными задачи, определим

расходимость пучка (R – R0) на пути l = 10 см:

v|| =

2qU

=

2 ×1,6×10−19 ×500

=1,33×10

7

м с ;

m

9,1×10−31

K =

Iq

=

j(2R0 )2

q

=

10×9

×10−8 ×1,7×1011

» 0,16

×10

9

м2

.

2ε

0

v

πm

8ε

0

v

m

8

×

−12

×

7

с

2

||

8,85 10

1,33 10

Поскольку t = l/v||, то

R - R0	=	Kl	2	=	0,6	×109 ×10	−2	» 0,030×10−3	м .
		2R0v\|\|2			0,3×10	−3 ×1,332	×1014

Из приведенных формул следует, что выбранное приближение тем точнее, чем выше энергия электронов и меньше плотность тока.

Теперь приведем точное решение уравнения динамики радиального расплывания пучка. Положим, что для произвольного момента времени, исключая, быть может, на-

чальный,

dR

¹ 0 , тогда, умножая точное уравнение расплывания пучка (1) на 2 dR/dt,

dt

получаем уравнение

d æ dR ö

2

K dR

ç

÷

= 2

.

dt

R dt

è

dt ø

Проинтегрируем это уравнение. Его первый интеграл имеет вид

æ dR ö

2

R

ç

÷

= 2K ln

+ c

,

R0

è dt

ø

где c – константа интегрирования. Положим c = 0, что соответствует нулевой скорости начального расплывания. Из полученного уравнения следует

dR = 2K ln R . dt R0

Прямое интегрирование этого дифференциального уравнения первого порядка дает

R	dR
t = ò			.	(4)

R0 2K	ln	R
		R0

Это выражение уже решает поставленную задачу неявным образом. Мы получили зависимость времени от начала расплывания пучка как интегральную функцию от те- кущего радиуса пучка. Произведя замену переменных в подынтегральном выражении, мы получим более удобное соотношение. Итак, переходя от переменной интегрирова-

	R		2R0	ln R R0	t		2	ln R R0
ния R к x = ln		, получаем t =		òex 2 dx или		=		òex 2 dx . Зависимость
	R0
			2K	0	R0		K	0

t от R показана на рис. 4 пунктиром.

Если ввести функцию

y

F (y)= e− y 2 òex 2 dx ,

0

которая табулирована, т. е. существуют таблицы этой функции при разных значениях параметра y, то ответ можно записать в виде

t			2 R	æ		R	ö
		=		F ç	ln		÷ .	(5)
		=		F ç	ln		÷ .	(5)
R			K R0	ç		R0	÷
R	0		K R0	è		R0	ø

Известно, что при малых значениях y F(y) ~ y, и уравнение, связывающее t/R0 с R/R0, записывается следующим образом:

R0	æ		Kt 2		ö		Kt 2
	ç				÷
		-		2		»1-		2 .
R	= expç		2R		÷		2R
	è				ø

Возводя левую и правую части этого соотношения в квадрат, легко убедиться, что в

случае

Kt 2	<<1 Þ	R 2	=1	-	Kt 2	Þ R 2 = R02 + Kt 2 или R =	R02 + Kt 2	» R0	+	Kt 2
		0
2R 2		R 2			R 2					2R0

решение совпадает с выражением (3). В другом предельном случае, когда y велико, из- вестно, что асимптотическое поведение интеграла F(y) таково, что F(y) = y/2, и ответ

принимает вид

ln	R	=	R 2	.	(6)
	R0		2Kt 2

Таким образом, мы описали расходимость однородного цилиндрического пучка. Структура расплывания описывается параметром K.

В заключение можно добавить, что с помощью пучка электронов, пропущенного через плазму, осуществляют ее магнитную термоизоляцию. В этом случае сжимающее действие магнитного поля не дает ионам и электронам плазмы уходить на стенки каме- ры.

Рис. 5.

ЗАДАЧА 3. ПОЛЕ В КАБЕЛЕ. ЕМКОСТЬ КАБЕЛЯ

Эту задачу можно рассматривать на протяжении всей темы "Электростатика", на- чиная с расчета напряженности [2, 3, 4].

1. Постановка задачи

Интерес к расчету электрического поля и емкости коаксиаль- ного кабеля связан с широким их применением. На частотах от не- скольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнит- ные сигналы и электромагнитная энергия часто передаются по ко- аксиальным линиям.

Простейшая коаксиальная линия состоит из центрального про- вода, изоляции и внешнего тонкостенного цилиндра (оплетки), ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (рис. 5).

Следовательно, коаксиальный кабель можно рассматривать как цилиндрический конденсатор. При такой конструкции внешний проводник экранирует центральную жилу, защищая внутреннее пространство от влияния внешних полей. С другой стороны, равенство нулю поля вне кабеля свидетельствует об отсутствии излу- чения.

2. Формулировка задачи

Цилиндрический конденсатор (коаксиальный кабель) состоит из коаксиальных ци- линдрических обкладок, разделенных слоем диэлектрика с диэлектрической проницае- мостью ε. Радиусы внутренней и наружной обкладок соответственно равны a и b (рис. 5), линейная плотность зарядов τ. В этих условиях фактически решаются три за- дачи: а) найти зависимость Er(r); б) найти зависимость φ(r); в) найти емкость этой сис- темы.

Поле будем находить в точках, в которых можно пренебречь краевыми эффектами, т. е. задача решается в приближении, когда a, b << l, где l – длина кабеля. Задача реша- ется последовательно в трех темах по мере их прохождения или в одной из них с по- следующим обсуждением.

3. Решение

Поскольку вся система обладает осевой симметрией, то для нахождения напряжен- ности поля воспользуемся обобщенной теоремой Остроградского-Гаусса. Проведя

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: