стандартную задачу приблизить к инженерной задаче, если дать ее техническое содер- жание и практическое применение. Рассмотренные задачи частью являются оригиналь- ными, а другие позаимствованы из литературы.
ЗАДАЧА I. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ В АНТЕННЕ ПО ЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМУ ПОЛЮ
Задача может быть рассмотрена в теме «Закон Кулона и расчет напряженности ме- тодом суперпозиции».
1. Постановка задачи
При изучении свойств антенн важно знать распределение зарядов или токов в них, так как ими определяется излучаемое антенной поле. Заряд распределен в разных уча- стках антенны с разной плотностью и меняется во времени. Так,
Рис. 1.
например, в антенне, состоящей из двух линейных проводников, между которыми включен передатчик, настроенный на частоту ω, зависимость линейной плотности за- ряда от времени синусоидальная: τ = τ0(y) sin ωt, где τ0(y) – функция координаты, имеющая вид, представленный на рис. 1.
Полный заряд антенны Q равен нулю:
Q = òl τ 0 (y)dy = 0 ,
−l
причем обычно τ0(y) – нечетная функция y.
Чтобы экспериментально определить τ0(y), можно измерить напряженность элек-
трического поля в ряде точек на некотором расстоянии от антенны и по этим данным восстановить характер искомой зависимости. Так, например, если предположить, что τ0(y) = ay, то, измерив E(x1) – напряженность электрического поля в точке x1 (см. рис. 1) и подставив это значение в формулу для расчета E, полученную теоретически для дан- ного распределения τ0(y), можно найти постоянную a. Затем, зная значение a, вычис-
4. Обсуждение
Рассмотрим численный пример. Если известны измеренные значения E(x1) = 13,8 В/м и E(x2) =2,4 В/м, то сначала из формулы (1) найдем a = 0,45 · 10-8 Кл/м2 (l = 2 м). Затем, подставив значение постоянной a в формулу (2) и рассчитав Е(x2) =2,43 В/м, убеждаемся, что предположение τ0(y) = ay подтверждается в пределах погрешности измерений.
Если предположение не оправдывается, то, полагая, например, τ0(y) = ay – by3, можно по значениям E(x1) и E(x2) найти a и b, а по результатам измерения в других точ- ках проверить насколько хороша вторая аппроксимация и т. д.
Необходимо обратить внимание студентов на то, что закон Кулона, на котором ос- новывается метод суперпозиции, строго справедлив лишь в электростатике, т. е. для неподвижных и постоянных во времени зарядов. В случае движущегося заряда надо учитывать время распространения электромагнитного поля от заряда до той точки, в которой вычисляется напряженность E. Если скорость v заряда мала, так что он смеща- ется на расстояние vt, где t = x/c – время распространения поля до точки x, в которой определяется напряженность E (c – скорость света), то закон Кулона применим при- ближенно и тем точнее, чем лучше выполняется неравенство vt = vx/c << x, т. е. чем меньше v по сравнению с c.
Если заряд меняется во времени, оставаясь неподвижным, то условие справедливо- сти закона Кулона сводится к требованию, чтобы за время t = x/c заряд не успел сильно измениться, т. е., например, при периодическом изменении τ с периодом T должно быть t << T (даже t << T/4). Подставляя t = x/c и учитывая, что cT = λ, где λ – длина волны, найдем x << λ/4, т. е. законом Кулона можно пользоваться на расстояниях x, малых по сравнению с длиной волны λ. Так для средних длин волн λ = 300 м x << 75 м.
ЗАДАЧА 2. РАСХОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА [1]
Задачу можно рекомендовать для наиболее успевающих студентов по теме «Тео- рема Остроградского-Гаусса».
1. Постановка задачи
Создание электронных пучков является одной из важных задач в эксперименталь- ной физике. Существуют значительные проблемы в формировании сильноточных элек- тронных пучков, при этом одной из них является подавление расходимости лучка. Для
низкоэнергетических пучков расходимостью можно пренебречь только при малой плотности тока, но и в этом случае в точных экспериментах требуется оценить расхо- димость, чтобы рассчитать объем взаимодействия, например, электронного лучка с системой атомов или электронного пучка с лазерным лучом1.
2. Формулировка задачи
Для исследования сечений столкновения электронов с атомами электронная пушка формирует цилиндрический пучок моноэнергетических электронов с энергией 500 эВ. Плотность однородного по сечению тока в пучке j = 10 мкА/мм2, начальный диаметр пучка 2R0 = 0,3 мм. Описать динамику расходимости пучка из-за электростатического отталкивания.
1 Последняя задача (взаимодействие электронных и фотонных пучков) весьма актуаль- на, так как в настоящее время практически все классические эксперименты по столкно- вению электронов с атомами обобщаются на случай присутствия внешнего электро- магнитного поля большой интенсивности (поле лазерного излучения). Оказывается, что в таких «классических» экспериментах электромагнитное поле излучения лазера при- водит к проявлению квантовых эффектов, связанных с процессами нелинейного по- глощения и испускания нескольких фотонов при столкновении электронов с атомами.
3. Решение
Рис. 2.
Рис. 3.
Пусть имеем однородный цилиндрический пучок. Так как энергия и ток электронов малы, то пренебрежем магнитным полем лучка. Объемный заряд пучка создает цилин- дрически симметричное электрическое поле. На электроны в однородном цилиндриче- ском пучке будет действовать направленная радиально сила, которая приведет к рас- плыванию пучка. Действующая на электрон сила определяется распределением напря- женности электрического поля, создаваемого пучком. Напряженность поля легко най- ти, используя теорему Остроградского-Гаусса.
Пусть концентрация электронов в пучке равна n, соответствующая объемная плот- ность заряда ρ = nq, где q – заряд электрона. Геометрия задачи показана на рис. 2. В за- данном сечении пучка можно выделить две характерные области: 1 – внутри пучка (0 < r < R), и 2 – вне пучка (R < r < ∞), где r – расстояние от исследуемой точки до оси пучка; R – радиус пучка исследуемого сечения. Будем считать, что расходимость пучка слабая, так что исследуемое сечение можно рассматривать как сечение длинного пря- мого цилиндра. Тогда из соображений симметрии электрическое поле описывается век- торами, направленными то радиусам, причем на одинаковом расстоянии от оси пучка величина напряженности одинакова. Используя симметрию задачи, легко рассчитать поток вектора индукции (вектора смещения) D через цилиндрическую поверхность, со- осную с пучком, так что, опираясь на обобщенную теорему Гаусса, мы получаем выра- жения для модуля вектора индукции как в первой, так и во второй зонах: для 0 < r < R D1 = qnr/2; для R < r < ∞ D2 = qnR2/(2r). Отсюда профиль напряженности электрическо-
го поля для изотропной линейной среды имеет вид