Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Задача 3.2. Плоский квадратный контур со стороной 10 см, по которому течет ток 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией 1 Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ1=90˚; φ2 =3˚. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует вращающийся момент

где Рm - магнитный момент контура, В—индукция магнитного поля, φ—угол между вектором Pm , направленный по нормали к контуру и вектором B .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю, а значит φ =0, т. е. вектора Pm и B совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый соотношением (1) будет стремиться возвратить контур в исходное положение.

Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота φ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

(2)

Подставим сюда выражение М формуле (1), учитывая, что Рm =IS=Iа2, где I—сила тока в контуре, S=а2 площадь контура, получим = I 2 sinϕdϕdA. ВзявBaинтеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол

0

Подставив в это выражение числовые значения величин, имеем

A1 =100 ×1× (0,1)2 = 1Дж

2. Работа при повороте на угол φ2==3˚. В этом случае, учитывая, что угол φ2 мал,

заменим в выражении (3) sinφ≈φ

Задача 3.3. В центре соленоида (длина 70 см, диаметр витков 7 см, число витков 300) расположена плоская катушка, состоящая из 20 витков площадью 0,3 см2 каждый Плоскость витков катушки составляет угол 37˚ с осью соленоида (рис. 12). По обмотке соленоида течет ток 4 А, по обмотке катушки-ток 0,1А. Определить работу, совершаемую силами поля при повороте катушки до положения устойчивого равновесия.

Решение. Катушка, обтекаемая током, находится в магнитном поле соленоида, поле которого считаем однородным во всех витках катушки. В таком поле на катушку действует вращающий момент

где Рm = I2 SN2 магнитный момент катушки, B -индукция магнитного поля в центре соленоида

B = μ0I1N1 .

l

Вектор Pm направлен нормально плоскости витков катушки по правилу винта,

учитывая направление тока I2 . Вектор индукции B направлен по оси соленоида в ту

или другую сторону. Так как направление токов I1 и I2 по условию не оговорены, то угол между векторами Pm и B

где I—сила тока в контуре, Ф1 и Ф2—магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях. В процессе медленного вращения контура силу тока считаем постоянной. При повороте контура в положение устойчивого равновесия силы поля совершают положительную работу, которая рассчитывается по формуле (4). Работа внешних сил при медленном перемещении контура равна работе сил поля, взятой с обратным знаком. В начальном положении поток, пронизывающий один виток (контур) катушки, Ф1=BScosα, причем в зависимости от α имеем, что cosα = ±sinα . В положении устойчивого равновесия поток Ф2=BS . Подставляя выражения потоков Ф1 и Ф2 в (4), учитывая (3) и то, что катушка содержит N витков, получаем соотношение для работы сил поля

A = I2 N2 (BS m BS sinα ) = I2 N2 BS(1m sinα ) = μ0 I1I2lN1 N2 S (1m sinα ). Если α = π2 - β ,

то значение работы A1 = 0,5 ×10−7 Дж; если α = π2 + β , A2 = 2,1×10−7 Дж.

4. Электромагнитная индукция. Индуктивность

1. Основной закон электромагнитной индукции закон Фарадея—Максвелла. Электродвижущая сила магнитной индукции в контуре численно равна и

противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур:

εинд = - ddtF .

2.Электродвижущая сила возникает в проводнике длиной l, движущемся в однородном магнитном поле со скоростью V, и выражается соотношением

εинд = BlV sinα

гдеα—угол между направлением вектора скорости V и вектора магнитной индукции

B .

3. Электродвижущая сила индукции, возникающая в рамке, содержащей N витков площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с индукцией B, определяется уравнением

εинд = BNSω sinωt,

где ωt - мгновенное значение угла между вектором B и вектором нормали n к плоскости рамки.

4.Потокосцепление Ψ пропорционально силе тока I, протекающей по контуру,

Ψ = LI,

где L—индуктивность контура.

5. Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре (при изменении силы тока в нем, определяется соотношением

εс = - ddtφ = -L dIdt .

6.Индуктивность L (коэффициент самоиндукции) соленоида (тороида) пропорциональна квадрату числа витков п на единицу длины соленоида и объему V соленоида

L = μμ0n2V ,

где μ - магнитная проницаемость сердечника, которая зависит от магнитной среды (для вакуума μ=1).

7. Количество электричества q, протекающего в контуре при изменении потокосцепления, пронизывающего все витки контура, на величину ΔΨ определяется

q = DYR ,

где R - омическое сопротивление витков контура.

8. Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей cопротивлением R и индуктивности L:

а) при замыкании цепи

где ε - ЭДС источника тока, t—время, прошедшее после замыкания цепи;

б) при размыкании цепи

− R t

I = I0e L ,

гдеI0 - значение силы тока в цепи при t=0, t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Задача 4.1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая 1000 витков. Площадь рамки 150 см2. Рамка вращается с частотой 10 об/с. Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки в 30˚.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции ε определяется основным уравнением

εинд = - ddtΦ N.

При вращении рамки магнитный поток Φ, пронизывающий виток рамки в момент времени t, изменяется по закону

Φ = BS cosωt,

где В-магнитная индукция, S - площадь рамки, ω-круговая (или циклическая) частота, ωt-мгновенное значение угла между нормалью n к плоскости рамки и вектором ин-

дукции B . Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции