также, что магнитный момент витка с током имеет выражение Pm =IS, то формула (1) принимает вид М=IBS. Отсюда, учитывая, что S=πr2, находим
B = |
M |
(2) |
||||
πr2 I |
||||||
Подставляя числовые значения, имеем |
||||||
B = |
6,5 ×10−6 |
=1,04 ×10−4 |
Тл. |
|||
3,14 × 2 ×10−2 |
||||||
Задача 2.4. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения которой 10-5 Н.м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока 1 А она повернулась на угол 60°.
Решение. Индукция внешнего магнитного поля В может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в равновесии в том случае, если
сумма вращающихся моментов, действующих на нее, будет равна нулю |
|
å Mi = 0 |
(1) |
В данном случае на рамку действуют два момента: М1-момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М2-момент упругих сил, возникающих при закручивании нити, на которой рамка подвешена. Следовательно, формула (1) может быть записана в виде
M1 + M2 = 0 .
Выразив М1 и М2 в этом равенстве через величины, от которых зависят моменты сил,
получим |
|
Pm Bsinα - Cϕ = 0, |
(2) |
где Pm - магнитный момент рамки с током; B-индукция магнитного поля; α-угол между нормалью к плоскости рамки и направлением линий индукции магнитного поля (рис. 9); С—постоянная кручения, показывающая значение момента упругой силы, возникающей при повороте рамки на угол, равный единице.
Знак минус перед моментом М2 ставится потому, что этот момент противоположен по направлению моменту М1 сил, действующих на рамку со стороны магнитного поля.
Если учесть, что
m = I = PIa2 N,SN |
|||
где I- сила тока в рамке;S - площадь рамки; a"-сторона квадратной рамки;N |
- число |
||
витков рамки, то равенство (2) можно переписать в виде |
|||
NIa2 sinα - Cϕ = 0, |
|||
откуда |
|||
B = |
Cϕ |
||
. |
(3) |
||
NIa2 sinα |
|||
Из рис. 9 видно, что α=π/2 –φ, значит, sin α =cos φ С учетом этого равенства (3) примет
вид |
||||
B = |
Cϕ |
|||
. |
(4) |
|||
NIa2 cosϕ |
||||
Подставим данные задачи в формулу (4) и произведем вычисления |
||||
B = |
10−5 × 60 |
= 3×10−2 Тл. |
||
10+2 ×1× (2 ×10−2 )2 × 0,5 |
||||
Φ = òBdS cos(BdS ),
s
где интегрирование ведется по всей площади S.
2. Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками контура, определяется соотношением
Ψ = NΦ,
где Ф—магнитный поток через один виток, N—число витков контура.
3. Работа перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле определяется соотношением
A = IΔΦ
где ΔΦ - изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром.
Задача 3.1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идет ток силы 5 А, расположена рамка ( 20 ×10 см), по которой течет ток силы 0,2 А. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на расстоянии 5 см, ток в ней параллелен току в прямом проводе (рис. 11). Определить работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на угол π вокруг дальней длинной стороны.
Решение. Прямоугольная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока и определяется соотношением
B = |
μ0I |
, |
(1) |
|
2πr |
||||
где r—расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки. Вектор B во всех точках рамки направлен перпендикулярно плоскости рамки. Работа внешних сил при медленном повороте рамки равна работе сил поля, взятой с обратным знаком
A = -A = -i(F |
2 |
- F ), |
(2) |
1 |
|||
где F1 и F2 -потоки сквозь площадь рамки до и после поворота. Вследствие |
|||
неоднородности поля прямого тока |
|||
F1,2 = òBdS |
(3) |
||
s |
|||
где вектор ds совпадает по направлению с вектором |
B индукции магнитного поля |
||
для начального положения рамки (рис. 11). Для расчета потока, пронизывающего площадь рамки, следует выбрать элементарную площадку ds в виде узкой полоски (длина l, ширина dr), расположенной параллельно прямому току. В пределах такой полоски индукция В остается постоянной.
При расчете магнитного потока по равенству (3) следует учитывать, что в первом
положении рамки (до поворота) угол между векторами B и ds равен нулю, |
во втором |
||||||||||||||||||||||||||
положении (после поворота) π. В соответствии |
с |
этим, |
учитывая, что |
ds = l1dr, |
|||||||||||||||||||||||
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||
F1 = òBdscos0 = |
μ Il |
x0 |
+l |
2 |
dr |
= |
μ I |
l1 ln |
x + l |
; |
(4) |
||||||||||||||||
2π |
1 |
ò |
r |
2π |
x |
2 |
|||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
s |
x0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
F2 = òBds cosπ = - |
μ Il |
x0 +2l2 dr |
= - |
μ I |
x + 2l |
; |
|||||||||||||||||||||
2π |
1 |
ò |
r |
2π |
l1 ln |
x + l |
2 |
||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
s |
x0 +l2 |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
Подставим выражения (4) в (2) и найдем работу внешних сил при медленном |
|||||||||||||||||||||||||||
повороте рамки с током в магнитном поле |
|||||||||||||||||||||||||||
μ0Ii |
x0 |
+ 2l2 |
|||||||||||||||||||||||||
A |
= |
2π |
l ln |
. |
(5) |
||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
Произведя вычисление по формуле (5), получаем |
|||||||||||||||||||||||||||
4π ×10−7 |
×5 × 0,2 × 0,2 |
25 |
|||||||||||||||||||||||||
A = |
2π |
ln 5 = 6,4 ×10−8 Дж. |
|||||||||||||||||||||||||