dB = |
μ 0 I sinα dl |
(1) |
4πr2 |
где r—расстояние от элемента dl до точки, индукцию поля в которой надо найти, α—
угол между направлением тока в элементе и направлением радиус-вектора r. Радиусвектор направлен от элемента провода к точке, в которой вычисляется индукция поля. Прежде чем интегрировать выражение (1), его следует преобразовать так, чтобы можно
было интегрировать по углу α. |
Выразим длину элемента проводника dl через dα. |
||||||||
Согласно рис. 3 имеем |
|||||||||
dl = |
r × dα |
(2) |
|||||||
sinα |
|||||||||
Подставим это выражение dl в формулу (1) |
|||||||||
dB = |
μ 0 I sinα × r × dα |
= |
μ0 I × dα |
||||||
4πr2 sinα |
4πr |
||||||||
Но r – величина переменная, зависящая от α и равна r = r0 sinα . Подставляя |
|||||||||
r в предыдущую формулу, найдем |
|||||||||
dB = |
μ0 I |
sinαdα |
(3) |
||||||
4πr |
|||||||||
0 |
|||||||||
Чтобы определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (3) в пределах то α1 до α2
α2 |
μ0I |
α2 |
||
B = ò |
μ0 I |
sinαdα = |
òsinαdα |
|
4πr |
4πr |
|||
α1 |
0 α1 |
|||
или
B = μπ0rI (cosα1 − cosα2 )
4 0
Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода
сosα2 = −cosα1 .
С учетом этого формула (4) примет вид
B = μπ0rI (cosα1 )
2 0
Из рис.3 следует
cosα1 |
= |
l 2 |
= |
l |
||
l2 4 + r2 |
4r2 |
+ l2 |
||||
0 |
0 |
Подставляя выражение cosα1 в формулу (5), получим
B = |
μ0I |
l |
(7) |
||
2πr0 |
4r2 |
+ l2 |
|||
0 |
|||||
Подставим числовые значения в формулу (7) и произведем вычисления:
B = |
4π ×10−7 ×30 |
× |
0,6 |
= 2,49 ×10−5Тл. |
||||
2π × 0,2 |
4(0,2)2 + (0,6)2 |
|||||||
Задача 1.2. По контуру, изображенному на рис. 4, |
||||||||
идет ток силой 10 А. Определить магнитную индукцию в |
||||||||
точке O, если радиус дуги 10 см и α = 60°. |
||||||||
Решение. В силу принципа суперпозиции полей магнитная |
||||||||
индукция B в точке O равна векторной сумме магнитных |
||||||||
индукций, созданных всеми элементами контура с током. |
||||||||
Разобьем весь контур на три участка – дугу AB и прямые |
||||||||
отрезки ВС и СA, тогда получим |
||||||||
B0 = BAB + BBC + BCA . |
(1) |
|||||||
Вычислим значения всех трех слагаемых Закон БиоСавараЛапласа для элемента |
||||||||
dl с током дуги l имеет вид |
||||||||
dB = μ0 Idl s β 4πr2 . |
in |
(2) |
||||||
В точке О для всех элементов дуги l |
r |
r |
2 |
(r=R- радиус дуги). Все |
||||
угол β = (dl |
,r ) = π |
|||||||
элементарные dB полей, созданных элементами дуги l, коллинеарны между собой, и интегрирование выражения (2) по дуге l дает
μ0 I |
l |
μ0Il |
|||||||
BAB = òdB = |
òdl = |
. |
(3) |
||||||
2 |
2 |
||||||||
l |
4πR |
0 |
4πR |
||||||
Поскольку угол α=60°, дуга l составляет 1/6 часть окружности, т.е. πR/3 Подставив |
|||||||||
это значение в(3), найдем |
|||||||||
BAB = |
μ0I |
(4) |
|||||||
12R |
|||||||||
По формуле магнитного поля отрезка прямого тока |
|||||||||
B = |
μ0I(cosϕ1 - cosφ2 ) |
(5) |
|||||||
4πa |
|||||||||
найдем значение индукции BBC отрезка ВС Из рис 4 видно, что углы, входящие в эту формулу, равны φ1 =300, φ2 =900. Расстояние от точки О до провода ВС равно
а=ОС=Rsinφ1 =R/2. Подставим значения a, φ1, и φ2 в формулу (5), имеем
BBC = |
3μ0I |
(6) |
||
4πR |
||||
Для любого элемента dl проводника CA угол, образованный этим элементом |
||||
(взятым по направлению тока) и радиусом-вектором r, |
проведенным от элемента в |
|||
. , s ( , r)= 0 . in
точке О, равен π Следовательно dl r Однако при этом знаменатель формулы
(2) отличен от нуля. Таким образом, dB=0 для любого элемента проводника CA. Отсюда ясно, что и весь проводник не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (1) упростится
B0 = BAB + BBC |
(7) |
Поскольку точка О и контур АВС лежат в одной плоскости, оба |
вектора |
BAB , BBC , будучи перпендикулярными этой плоскости (это следует из закона Био-
Савара-Лапласа) формула (2), оказываются расположенными вдоль одной прямой-
нормали к плоскости чертежа. При этом вектор BAB направлен от наблюдателя
(согласно правилу винта), вектор BBC - к наблюдателю.
Следовательно, можно вместо (7) написать скалярное равенство
B0 = BBC - BAB |
|||||||||
или с учетом (4) и (6) |
|||||||||
æ |
3 |
1 |
ö |
μ |
I |
= 6,9 ×10−6Тл. |
|||
B = ç |
- |
÷ |
0 |
||||||
ç |
4π |
12 |
÷ |
R |
|||||
è |
ø |
||||||||
Задача 1.3. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в
одном направлении токи 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля В в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии 5 см и от другого—на расстоянии 12 см.
Решение. Для нахождения индукции магнитного поля B в указанной точке A (рис. 5)
определим направления векторов индукции B1 и B2 полей, создаваемых каждым про-
водником в отдельности, и сложим их геометрически (по правилу параллелограмма), т.
е. B = B1 + B2.Абсолютное значение индукции В может быть найдено по теореме коси-
нусов:
B = B2 |
+ B2 |
+ 2B B |
2 |
cosα, |
(1) |
1 |
2 |
1 |
|||
где α—угол между векторами B1 и B2 . Значения индукций B1 |
и B2 выражаются |
||||
соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от провода до точки, индукцию |
|||||||||||||
поля в которой мы вычисляем: |
|||||||||||||
B = μ0 J |
и B |
2 |
= |
μ0 J |
|||||||||
1 |
2πr1 |
2πr2 |
|||||||||||
Подставляя B1 и B2 в формулу (1) , имеем |
|||||||||||||
B = |
μ0I |
1 |
+ |
1 |
+ |
2 |
cosα. |
(2) |
|||||
r2 |
r2 |
r r |
|||||||||||
2π |
|||||||||||||
1 |
2 |
1 2 |
|||||||||||
Вычислим cos(α). Заметим, что угол α равен углу DАС (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому по теореме косинусов запишем
d 2 = r12 + r22 - 2r1r2 cosα ,
где d—расстояние между проводами. Отсюда
cosα = |
r2 |
+ r2 - d |
2 |
. |
||||||||
1 |
2 |
|||||||||||
2r1 r2 |
||||||||||||
Подставляя данные, вычислим значение косинуса |
||||||||||||
cosα = |
52 |
+122 -102 |
= 23 = 0,576. |
|||||||||
2 ×12 ×5 |
40 |
|||||||||||
Подставляя в формулу (2) |
значения, определим магнитную индукцию |
|||||||||||
B = |
4π ×10−7 × 60 |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
× 0,576 = 2,86 ×10−4Тл |
|||||
2π |
(0,05)2 |
(0,12)2 |
0,05 × 0,012 |
|||||||||