Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 1.4. Двухпроводная система (силы обоих токов равны и текут в противоположных направлениях) состоит из коаксиально расположенных проводников радиуса 2 мм и тонкостенной цилиндрической трубы радиуса 2 см (рис. 6). Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстояниях 3 см и 1 см от оси системы, при силе тока 10 А. Всю систему считать практически бесконечно длинной.

Решение. В данной системе магнитное поле создается как током, текущим по осевому проводнику, так и током, текущим по трубе. Поле подводящих проводов можно не учитывать, так как, согласно условию, система практически бесконечно длинная.

Данная система токов вследствие симметрии создает поле, линии индукции которого являются окружностями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси трубы и концентричны ей. Это позволяет воспользоваться для расчета индукции поля (причем результирующего поля, созданного всей системой токов), законом полного тока

òBdl = μ0 åIi	(1)
l

где å I -алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования l (контур следует провести в виде окружности, расположенной так же, как и линии индукции). На рис. 6 показаны два контура: l1 радиус которого r>R1, и l2 ,радиус которого удовлетворяет условию R1<r<R2.

Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направление линий индукции согласовано с направлением тока в осевом проводнике. В соответствии с

этим выберем направление обхода контуров l1 и l2 так, чтобы оно составляло правовинтовую систему с осевым током I. Тогда во всех точках контура l2 угол

Bdl = 0 . Во всех точках контура l1 угол Bdl также постоянен и равен 0 или π.

Из осевой симметрии следует, что модуль вектора B во всех точках каждого из

контуров постоянен. Следовательно, левую часть равенства (1) можно записать в виде
òBdl = ±Bòdl,		òBdl = Bòdl = 2πrB		(2)
l	l1	l2	l2
С контуром l2 сцеплен только осевой ток, т.е. å Ii = I , поэтому при подстановке
второго из уравнений (2) в равенство (1) получим B × 2πr = μ0I , откуда при R1<r<R2.
	B =	μ0 I		(3)
		2πr

С контуром l1 сцеплены токи, текущие по осевому проводнику и по трубе. Так как они направлены в разные стороны, то å Ii = 0 поэтому при подстановке первого из

уравнений (2) в равенство (1) «получим ± Bòdl = 0 , откуда при r>R2 имеем, что В=0.

Подставляя в формулу (3) значения, определим индукцию магнитного поля при r=1 см

B2 = 4π ×10−7 −×210 = 2 ×10−4Тл 2π ×10

2. Сила, действующая на проводник и контур с током в магнитном поле

1. Сила, действующая на элемент проводника dl с током I, помещенного в магнитное поле называется силой Ампера

dF = I[dl , B],

где dl – вектор элемента проводника, проведенный в направлении тока; B -вектор индукции магнитного поля. По принципу суперпозиции на проводник с током длины l

силу определяют по формуле F = òdF

по l

Для случая однородного магнитного поля и прямолинейного проводника с током

F = IBl sin(l B)

2. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l выражается формулой

F = μ0I1I2 l.

2πd

3. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в

однородное магнитное поле
M = [Pm B] или	M = Pm Bs α, in

где Pm - магнитный момент контура с током, равный произведению силы тока I в

контуре на площадь S, охватываемую этим контуром

Pm = IS.

Вектор S численно равен площади S, охватываемой контуром, и совпадает по направлению с вектором нормали n к плоскости контура, направление которой

определяется в соответствии с правилом винта; α - угол между векторами Pm и B . 4. В неоднородном магнитном .поле на контур с током действует сила

		r	r	dB	,
		F	= P	dx	,
			m	dx
где	dB	есть изменение В, рассчитанное		на единицу длины вдоль направления,
где	dx	есть изменение В, рассчитанное		на единицу длины вдоль направления,
	dx
совпадающего с направлением Pm .
Сила F		втягивает контур с током (магнитный диполь) в область больших значений
магнитной индукции.

5. Сила Лоренца. Сила F , действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в

магнитном -поле с индукцией B , выражается формулой

= [r ]

F q vB

где α—угол, образованный вектором скорости v движения

заряда и вектором B индукции магнитного поля.

Нетрудно заметить, что сила Лоренца всегда направлена нормально к скорости движущегося заряда и, следовательно, не изменяет ее по величине, но изменяет по направлению.

Задача 2.1. В однородном магнитном поле 0,02 Тл .в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длины 3 см, по которому течет ток силы 0,1 А (рис. 7). Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить?

Решение. Сила, действующая на элемент проводника dl с током	со стороны
магнитного поля B ,
dF = I[dl B].	(1)

r r

По условию, во всех точках полукольца dl , B = π2 . Поэтому в скалярной форме уравнение (1) имеет вид

dF = IdlB.

(2)

Если ток в проводнике направлен по часовой стрелке, то в заданном поле силы dF, действующие на все элементы dl, направлены по радиусам полукольца и стремятся растянуть его. Все элементарные силы dF лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. При переходе от одного элемента полукольца к другому направление их непрерывно изменяется. Поэтому для нахождения результирующей силы следует отдельно искать ее проекции на две произвольные оси координат:

		Fx = òdFx ;	Fy = òdFy		(3)
		l	l
где F	и F	- проекции искомой	результирующей силы; dF	и dF	- проекции
x	y		x	y

элементарных сил на оси координат. Интегрирование ведется по длине полукольца l. В данном случае не учитывается действие на полукольцо магнитного поля подводящих проводов, а также взаимодействие отдельных элементов полукольца.

Если, учитывая симметрию проводника, выбрать оси так, как показало на рисунке, то проекция результирующей силы на ось ox

Fx = òdFx = 0

Проекция элементарной силы на ось оу, учитывая (2) имеет вид dF = dF cosα = IBdl cosα

При переходе от одного элемента dl к другому угол α изменяется, т. е. написанное выражение содержит две переменные. Однако dl = Rdα , где R - радиус полукольца, поэтому

dFy = IBRcosαdα

(4)

При интегрировании по полукольцу угол α изменяется от -π/2 до +π/2. Подставим (4) во второе из выражений (3)

+π2

Fy = IBR òcosαdα.

−π2

Производя интегрирование и учитывая, что R=l/π, получаем

Fy=2Ibl/π. (5)

Подставляя в формулу (5) данные задачи, получаем значение результирующей силы, действующей на полукольцо с током, помещенное в однородное магнитное поле

F = Fy = 2 × 0,1× 0,02 ×3×10−2 = 3,8 ×10−5 H. 3,14

Очевидно, что результирующая сила F = Fy и направлена по оси оу, так как Fx=0.

Если проводник l/ распрямить, то все элементарные силы будут параллельны друг другу. В этом случае результирующую силу можно найти непосредственно интегрированием выражения (2). Тогда F¢ = òIBdl = IBl , что больше F(5) в π/2 раз.

Задача 2.2. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идет ток силы 5 А, расположена прямоугольная рамка со сторонами 20 см и 10 см, по которым идет ток 0,2 А. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на расстоянии 5 см, ток в ней сонаправлен току в проводе (рис. 8). Определить силы взаимодействия прямого тока с каждой из сторон

рамки.

Решение. Прямоугольная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Поскольку в условии задачи оговорено, что прямой ток I, создающий магнитное поле, бесконечно длинный, то индукция магнитного поля такого прямого тока

B =	μ0I	(1)
	2πr

где r — расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки. Сила, с которой действует это поле на каждую из сторон рамки, может быть найдена суммированием элементарных сил Ампера

dF = i[dl B]

(2)

Вектор B во всех точках, рамки направлен перпендикулярно плоскости рамки и в пределах каждой стороны угол между dl и B составляетπ2 . Каждая из сторон рамки

— прямолинейный проводник. Поэтому в пределах одной стороны все элементарные силы dF параллельны друг другу и их результирующая

F = òdF = òiBdl s π 2,		in	(3)
l	l

где l—длина соответствующей стороны рамки, а dl-элемент стороны.

Стороны 1 и 3 рамки параллельны прямому току и находятся от него на расстоянии r соответственно x0 и x0+l2 где - l2 длина короткой стороны рамки. Подставив выражения r в (1) и (3) и проведя интегрирование, получим

F1 = òiBdl = ò

iμ0I

dl =

μ0Il1

= 8 ×10

−7

2πx

F1 = òiBdl = ò

iμ0I

dl =

μ0 Il2

2,7 ×10

−7

2π (x

+ l

)

2π (x

+ l

)

С-илы F1 и F3 направлены в противоположные стороны.

Силы, действующие на стороны 2 и 4 рамки, равны по модулю и противоположны по направлению. Вдоль каждой из этих сторон индукция непрерывно меняется. Учитывая, что справа от проводника в плоскости рисунка элемент стороны dl находится на расстоянии r, подставляем в выражение (1), (3) и, учитывая что dl=dr, -получаем

F2 = ò μ0 Iidr.

l2 2πr

При интегрировании по второй (или четвертой) стороне переменная изменяется в

пределах от x0 и x0+l2,

поэтому

I x0 +l2

x + l

−7

= F4 =

= 2,2 ×10

2π

0Β

Задача 2.3. На проволочный виток радиусом 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент 6,5 ×10−6 Н×м. Сила тока в

витке 2 А. Определить магнитную индукцию поля между полюсами магнита. Магнитным полем Земли пренебречь.

Решение. Индукцию B магнитного поля можно определить из выражения

механического момента М, действующего на виток с током в магнитном поле
M = Pm Bs α, in	(1)

где Pm - магнитный момент витка с током, В—индукция магнитного поля, α— угол между направлением индукции магнитного поля и нормали к плоскости витка. Если учесть, что максимальное значение механического момента будет при sinα=1 (α=π/2), а

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: