Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Задача 3.4. Плоский воздушный конденсатор емкостью C1 = 0,2 мкФ заряжен до разности потенциалов U = 600 В. Найти изменение энергии конденсатора и работу, со- вершенную полем при заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической про- ницаемостью ε = 2. Конденсатор все время подключен к источнику .

Р е ш е н и е . При заполнении конденсатора диэлектриком емкость его увеличива- ется в ε раз (С2 = εC1), разность потенциалов не меняется, так как конденсатор все вре- мя подключен к источнику. Следовательно, энергия конденсатора увеличивается. Из- менение энергии конденсатора W = W2 – W1 равно сумме работы внешних сил A' и ра- боты Aбат, совершаемой источником тока, который поддерживает постоянную разность потенциалов на обкладках конденсатора, т. е.

W = W2 – W1 = A' + Aбат.

Появившиеся на концах диэлектрика связанные заряды частично компенсируют действие зарядов на обкладках. Чтобы напряжение между обкладками оставалось не- изменным, на пластины должны перейти от источника дополнительные заряды, равные связанным зарядам на диэлектрике. Следовательно, работу источника тока по измене-

Задача 3.5. Найти изменение энергии конденсатора и работу поля, если в условии предыдущей задачи конденсатор, заряженный от источника U, заполнили диэлектри- ком , отключив его от источника.

Р е ш е н и е . Изменение энергии конденсатора в этом случае равно работе внешне- го поля W = A' = – A или A = W1 – W2. Так как конденсатор отключен от источника, то его заряд в процессе заполнения диэлектриком не изменяется. Поэтому для расчета

энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой W = Q2 . Следовательно,

2C

Задача 3.6. Заряд Q распределен равномерно по объему шара из диэлектрика с по- стоянной объемной плотностью ρ. Относительная диэлектрическая проницаемость ди- электрика ε. Найти энергию электростатического поля внутри и вне шара. Радиус шара равен R.

Р е ш е н и е . Объемная плотность энергии электростатического поля в диэлектрике

w = εε0 E2 , где E – численное значение напряженности поля в рассматриваемой точке.

2

Напряженность поля для произвольной точки внутри шара E1 = 3εερr0 (см. задачу 2.3),

где r – расстояние от центра шара до рассматриваемой точки поля, ρ – объемная плот- ность заряда.

Энергия dW в объеме dV поля, заключенного между сферическими поверхностями, радиусы которых равны r и r + dr, а центры совпадают с центром шара, равна

Задача 3.7. Внутри металлического шара имеется асимметрично расположенная сферическая полость, в центре которой находится точечный заряд Q = l,2 · 10-8 Кл. Най- ти напряженность и потенциал электрического поля вне шара на расстоянии r0 = 10 см от его центра (рис. 3.4).

Р е ш е н и е . Так как шар металлический, то на внутренней и внешней поверхно- стях возникают индуцированные заряды, благодаря которым напряженность результи- рующего поля в толщине шара станет равной нулю. На внутренней поверхности полос- ти шара индуцируется отрицательный заряд Q1 (рис. 3.4). Согласно теореме Остроград-

ри металла, см. рис. 3.4). Q + Q1 = 0, так как E = 0, следовательно, Q1 = – Q.

На внешней поверхности шара появится индуцированный заряд Q2, и так как ме- таллический шар не заряжен, то Q2 = – Q1, по закону сохранения заряда

Q2 + Q1 = 0.

Заряды Q1 и Q2 распределены на внешней и внутренней поверхностях шара равно- мерно, так как заряд Q находится в центре сферической полости и кривизна этих по- верхностей постоянная. Используя теорему Гаусса для поверх-

ности S2 (рис. 3.4)

(òS )EdS = ε10 (Q - Q1 + Q2 )

и подставляя в нее Q1 = – Q и Q2 = – Q1 = Q, получим напря- женность поля на расстоянии r0 от центра шара

Потенциал, равный нулю, выбираем в бесконечности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА». ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.

1. Магнитное поле в вакууме. Закон Био—Савара— Лапласа. Закон полного тока

В качестве основной силовой характеристики магнитного поля принимается индукция B поля. Расчет индукции магнитного поля производится либо на основании закона Био–Савара–Лапласа и принципа суперпозиции, либо с помощью закона полного тока.

1. Закон Био—Савара—Лапласа. Магнитная индукция dB поля, создаваемая элементом проводника с током, пропорциональна длине элемента dl проводника, силе тока I в проводнике и синусу угла α между направлением тока в элементе проводника и радиусом-вектором r , проведенным от элемента проводника в точку, индукция поля в которой нас интересует, и обратно пропорциональна квадрату модуля радиусавектора:

Вектор dB магнитной индукции в данной точке С магнитного поля перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы dl элемента проводника и радиус-вектор r данной точки (рис.1).

4. При наложении магнитных полей (в соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей) магнитная индукция B результирующего поля равна векторной

(геометрической) сумме магнитных индукций B1,B2,..., Bn складываемых полей

B= åBi .

Вчастном случае наложения двух полей

B = B1 + B2,

а - абсолютное значение вектора магнитной индукции

B = B12 + B22 + 2B1B2 cos α ,

где α -угол между векторами B1 и B2 .

5. Закон полного тока. Циркуляция вектора индукции B магнитного поля вдоль замкнутого контура в вакууме пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром

òBdl = μ0 åIi

l

При вычислении алгебраической суммы токов ток считается положительным, если смотреть вдоль направления тока (вектора плотности тока), то обход контура l происходит по часовой стрелке. В противном случае ток считается отрицательным.

6. Магнитная индукция поля, создаваемого длинным соленоидом в средней его части (или тороида на его оси)

B = μ0nI,

где п-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, l- cила тока в одном витке.

Задача 1.1. Определить индукцию B магнитного поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии 20 см от середины его. Сила тока, текущего по проводу, 30 А, длина отрезка 60 см.

Для определения индукции магнитного поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа