Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1186-1190

Во втором случае, как видно на рис. 2.1, угол (EdS) различен в разных точках рас- сматриваемой поверхности (полусферы). Поток вектора напряженности через замкну- тую поверхность S, состоящую из полусферы и площадки, образующей основание по- лусферы, равен нулю, так как эта поверхность не охватывает никаких зарядов, т. е.

N2 + N2' = 0,

где N2 – искомый поток через полусферу, N2' – поток через основание полусферы. Отсюда видно, что N2 = – N2'.

Так как за направление вектора dS принимается направление внешней нормали, то поток N2' < 0, следовательно N2 = |N2'| > 0.

Поверхность основания полусферы плоская, во всех ее точках угол (EdS)= π2 + β

(см. рис. 2.1), следовательно, поток через эту поверхность может быть рассчитан так же, как и в первом случае:

N 2 '= EπR	2	æπ		ö	= -EπR	2	cos β .
N 2 '= EπR		cosç	2	+ β ÷	= -EπR		cos β .
		è	2	ø

Выразив все величины в СИ, получим N2 = |N2'| = 3,0 · 10-4 В/м.

Задача 2.2. Между внутренней и средней из 3-х проводящих концентрических сфер находится диэлектрик с ε = 5. Заряд внутренней сферы q1 = 6 · 10-10 Кл, внешней – q2 = 5 · 10-10 Кл, радиусы соответственно 2, 4 и 6 см. Найти потенциалы вблизи поверхностей всех сфер (рис. 2.2).

Р е ш е н и е . Поле заряженной проводящей сферы обладает центром симметрии, совпадающим с точкой O. Во всех точках, отстоящих от точки O на одинаковом рас- стоянии r, векторы электрического смещения D численно

равны и направлены радиально, следовательно

	òDdS = 4πr2 D .
	(S )
	С другой стороны по теореме Остроградского-Гаусса
	для диэлектрика
Рис. 2.2.	òDdS = åqi .
Рис. 2.2.	(S )
Для точек, лежащих в пределах
1) 0 ≤ r ≤ R1, åqi	= 0 , следовательно, D = 0, E = 0;

2) R1 ≤ r ≤ R2, åqi

= q1

, D =

q1

.

4πr

2

Используя формулу (42), найдем:

E =

D

q1

=

;

εε0

4πε0εr2

3) R2 ≤ r ≤ R3, D =

q1

, так как

åqi = q1 , E =

D

=

q1

;

4πr

2

4πε0r

2

ε0

4) r ≥ R3, так как åqi

= q1 + q2 , следовательно,

D =

q1 + q2

и E =

q1 + q2

.

4πr2

4πε0r2

Для нахождения потенциалов используем интегральную связь между потенциалом и напряженностью поля. Потенциал, равный нулю, выбираем в бесконечности (φ∞ = 0).

Потенциал на внутренней сфере

∞

R2

q1

R3

q1

∞

q1 + q2

æ

R2 - R3

ϕ1 = òEdl = ò

dr + ò

dr =

q1 ç R2 - R1

+

4πε0εr

2

4πε0r

2

4πε0r

2

4πε

ç

εR1R2

R2 R3

R

2

R

3

0 è

1

+

q1 + q2

= 287 В .

4πε0 R3

ö

÷ +

÷

ø

Потенциал на средней сфере
R3	q			∞ q + q			2 dr =	q (R - R				)	+	q + q
ϕ2 = ò	4πε r2 dr + ò				4πε r		2 dr =	4πε R R					+	4πε R = 210 В .
	1				1		2	1	3		2			1		2
R		0		R		0			0	2	3				0	3
2				3
Потенциал на внешней сфере
			ϕ3	∞ q + q			2 dr =	q + q			=165 В.
			ϕ3	= ò	4πε r		2 dr =	4πε R			=165 В.
					1		2	1		2
				R		0			0	3
				3

Задача 2.3. Однородный шаровой слой диэлектрика с диэлектрической проницае- мостью ε, ограниченный концентрическими сферическими поверхностями с радиусами R1 и R2, равномерно заряжен с постоянной объемной плотностью ρ. Найти напряжен- ность в произвольных точках A (rA < R1), B (R1 < rB < R2) и точке C (rC > R2). Найти по- тенциал в точке r = R1. Потенциал φ = 0 принять в беско-

нечности.

Р е ш е н и е . Поле шарового слоя обладает центром симметрии, совпадающим с центром этого слоя O. Во всех точках, отстоящих от точки O на одинаковом рас-

Рис. 2.3.

åqi , охватываемых

стоянии r, векторы электрического смещения D численно равны и направлены ради- ально (рис. 2.3). Поэтому поток вектора электрического смещения сквозь сферическую поверхность радиуса r с центром в точке O равен 4πr2D. И по теореме Остроградского-

Гаусса он равен алгебраической сумме свободных зарядов (380)

этой поверхностью S, т. е. D = åQ2i . При rA ≤ R1 åqi = 0 и DA = 0, EA = 0. Если R1 ≤

4πr

rB ≤ R2, то åQi представляет собой заряд шарового слоя диэлектрика, заключенного между сферами с радиусами r и R1: åQi = 43 π (rB3 - R13 )ρ , следовательно, вектор

		ρ	æ	3	ö
DB	=	ρ	ç	r1	÷	, и
DB	=	3	çrB -	2	÷	, и
		3	è	RB ø

DB

ρ

æ

3

ö

E B =

=

ç

-

r1

÷

(43)

2

εε0

çrB

÷ .

3εε0 è

RB

ø

Если ri

≥ R2, то åQi

= 43 πρ(R23

- R13 ) и DC

=

ρ

(R32 - R12 );

3r2

C

EC

=

ρ

(R32

- R12 ).

(44)

3ε0rC

Потенциал поля в точке r = R1

∞

R2

æ

3

ö

∞

ρ

3

ρ

é

1

æ

2

3

2

ö

3

ù

ϕR1 = òErdr = ò

ρ

ç

R1

÷

+ ò

R2

- R1

ç

R2

R1

÷

R2

- R1

dr

=

ê

+

-

R1

+

ú .

çr -

r

2

÷dr

3ε0

r

2

3ε

ε

ç

2

R2

2

÷

R2

R

3ε0ε è

ø

R

2

0

ë

è

ø

û

1

Задача 2.4. Бесконечно длинный плоский слой диэлектрика толщиной d равномер- но заряжен с объемной плотностью ρ. Найти напряженность в произвольных точках вне и внутри слоя и разность потенциалов между серединой слоя и произвольной точкой A вне слоя. Построить графики зависимости Dx(x), Ex(x) и φ(x), где x – расстояние от сере- дины слоя до рассматриваемой точки, отсчитываемое по перпендикуляру к слою.

Р е ш е н и е . В точках внутри и вне слоя линии смещения – прямые, расположен-

ные параллельно к боковым поверхностям слоя. Такая плоско-симметричная конфигу- рация поля позволяет найти D и E с помо- щью теоремы Остроградского-Гаусса :

òDdS = åQiсвоб и D = εε0E. Проведем гаус-

(S )

Рис. 2.4.

совы поверхности в виде цилиндров S1 и S2, основания которых параллельны средней плоскости слоя, симметричны относительно нее и заведомо меньше по площади, чем плоский слой диэлектрика (рис. 2.4). Во всех точках боковых поверхностей цилиндров

S1	и S2	æ	π	= 0	ö	; на основани-
S1	и S2	векторы D и dS взаимно перпендикулярны ç	d = DdS DcosS	= 0	÷	; на основани-
		è	2		ø

ях цилиндров векторы D и dS коллинеарны и DdS = DdS cos 0° = DdS. Так как основа- ния гауссова цилиндра располагаются симметрично относительно заряженного слоя, D1, 2 во всех точках оснований можно считать постоянным. Индексы 1, 2 показывают, что все рассуждения справедливы как для S, так и для S2. Поэтому можно записать:

òDdS =

ò

DdS cos

π

+ 2 òDdS cos 0 = 2DS осн.1,2 .

(45)

(S1, S2 )

бок.

2

осн.

Сумма свободных зарядов, охваченных поверхностью S1

æ

x

<

d ö

, очевидно, зави-

ç

÷

2

è

ø

сит от высоты этого цилиндра. Так как начало оси расположено в центре слоя, то

åQiсвоб = 2

x

ρS осн.1 . Для поверхности S1|x| меняется от 0 до

d

. Учитывая равенство

2

(41) и (45), получим 2DS осн.1 = ρ2

x

S осн.1 , отсюда

D = ρ|x|

(46)

и Dx = ρ|x| (Dy = Dz = 0).

Сумма свободных зарядов, охваченных поверхностью S2

æ

x

>

d

ö

, не зависит от

ç

÷

2

координаты оснований (x) и åQiсвоб = 2

è

ø

x

ρS осн. 2 . Тогда 2DS осн. 2

= ρS осн. 2 d , откуда

D = ρd/2

(47)

и D = Dx = ρ

d

(Dy = Dz = 0). Знак Dx в выражениях (46) и (47) определяется знаками

2

координаты x и объемной плотности ρ.

Подставляя выражения (46) и (47) в (42), получим

E x =

ρx

для 0 £ x £

d

(48)

εε0

2

и E x

=

ρd

для x ³

d

;

(49)

2ε0

2

Ey = Ez = 0.

Используя интегральную связь между напряженностью и разностью потенциалов, найдем:

A

d 2

x A

d 2

ρx

x A

∞

ρd

ρd æ d

d

ö

ϕ0 -ϕA = òEdl =

òEx dx + òEx dx =

ò

dx + òEx dx + ò

dx =

ç

+ x A -

÷

,

εε0

2ε0

4ε

2

0

d 2

0

d 2

R3

2ε0 è

ø

где xA – координата произвольной точки вне слоя.

Рис. 2.6. Рис. 2.7.

Для построения графиков Dx(x) и Ex(x) используем выражения (46), (47), (48) и (49) (рис. 2.5 и 2.6). График φ(x) можно построить по графику Ex(x). Предположим, что φ = 0

на средней плоскости слоя (x = 0) (рис. 2.7). Во всей области x > 0 E x = - ∂¶ϕx > 0 , сле-

довательно, φ(x) убывает с ростом |x|. Во всей области x < 0 E x = - ∂¶ϕx < 0 , ∂¶ϕx > 0 ,

следовательно, φ(x) убывает с ростом |x|. Таким образом, кривая φ(x) симметрична от-

æ

= -

¶ϕ

= 0

ö

. В об-

носительно начала координат и в точке x = 0 имеет максимум çE

x

¶x

÷

è

ø

ласти

x

<

d

¶ ϕ < 0 и кривая обращена вогнутостью

вниз.

В области

x

>

d

2

¶x 2

d

2

Ex = const, следовательно, φ(x) – линейная функция. Точкам

x

=

, где Ex терпит раз-

2

рыв, на графике φ(x) соответствуют точки излома, и график φ(x) идет круче касатель-

ной, так как в точке x £ d2 Ex меньше, чем в точке x ³ d2 .

Задача 2.5. В плоском конденсаторе разность потенциалов между пластинами 100 В. Все пространство между пластинами заполнено диэлектриком, для которого ε = 3. Как велика поверхностная плотность заряда, связанного на поверхности диэлектрика? Расстояние между пластинами 1 см.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: