Материал: МЭИ(ТУ) Физика

скольку все элементарные заряды dQ и точка C лежат на одной прямой, достаточно од- ной оси x, показанной на рис. 1.16, с началом отсчета O, например, в середине стержня. Положение элемента dQ определяется теперь его абсциссой x и, как видно из рисунка,

r = a – x.

Нетрудно видеть, что это выражение справедливо и для элементов, лежащих в от- рицательной области. Потенциал в точке C равен

Так как под интегралом две переменные dQ и x, то заряд следует выразить через переменную x:

dQ = Ql dx .

Поскольку заряд распределен по стержню равномерно, отношение Ql = τ есть ли-

нейная плотность заряда.

При интегрировании по всему стержню переменная x изменяется от − 2l до + 2l .

Следовательно,

Подстановка числовых значений дает:

φC = 310 В.

В выражении (39) a – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки, т. е. координата этой точки. Очевидно, это выражение справедливо для любых значе- ний a < l/2 (под знаком логарифма не может стоять отрицательное число). Следова- тельно, выражение для потенциала любой точки, лежащей на оси x на продолжении стержня, может быть записано так:

Это выражение позволяет найти напряженность поля, используя дифференциаль- ную связь между напряженностью и потенциалом (26):

Для точки x = a = 12 см

Ex = 2,8 · 103 В/м.

В точке C (рис. 1.6) вектор E направлен по оси x. Следовательно, искомая величина

E = Ex.

II. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

В проводниках при внесении их в электрическое поле происходит перераспределе- ние зарядов, приводящее к тому, что внутри проводника поле отсутствует (E = 0), а по- тенциалы всех точек проводника равны.

На границе диэлектриков, находящихся в электрическом поле, возникают связан- ные заряды, поле которых ослабляет поле свободных зарядов. Это приводит к тому, что напряженность результирующего поля в диэлектрике E = Eсвоб + Eсвяз меньше, чем на- пряженность электрического поля, образованного теми же свободными зарядами в ва- кууме.

Поток вектора напряженности через произвольную поверхность

где вектор dS направлен по нормали к элементарной площадке dS.

Если конфигурация зарядов, создающих электрическое поле, обладает симметрией, то и созданное ими поле оказывается достаточно симметричным. Для нахождения на- пряженности поля может быть использована обобщенная теорема Остроградского- Гаусса:

где D – вектор электрического смещения, åQi – алгебраическая сумма свободных за-

рядов, охваченных поверхностью интегрирования. Интеграл в левой части (41) означа- ет поток вектора смещения через замкнутую поверхность S: вектор dS направлен по внешней нормали к площадке dS.

По найденным с помощью теоремы (41) выражениям для вектора D можно найти

напряженность поля из формулы

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Следующие виды сим- метрии позволяют рассчитывать напряженность поля с помощью теоремы Остроград- ского-Гаусса:

1)Заряженное тело имеет форму шара или сферического слоя (предельный част- ный случай – точечный заряд). Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распределены по объему так, что объемная плотность заряда ρ постоянна или яв- ляется функцией только расстояния от центра сферы (центра симметрии). К такому же виду симметрии относится и система концентрических сферических заряженных слоев.

Вэтом случае силовые линии поля радиальны. Поверхности интегрирования (гауссовы поверхности) следует брать в виде сфер, концентричных с заряженными телами.

2)Заряженное тело имеет форму цилиндра или цилиндрического слоя (предельный случай – заряженная нить), причем длина цилиндра много больше его радиуса. Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распределены по объему так, что

объемная плотность заряда ρ постоянна или является функцией только расстояния от оси цилиндра (оси симметрии). К такому же виду симметрии относится и система коак- сиальных (соосных) заряженных цилиндрических слоев. В этом случае в точках, нахо- дящихся вблизи заряженного тела, но достаточно удаленных от его торцов, силовые линии радиальны. Гауссовы поверхности следует брать в виде цилиндрических по- верхностей, коаксиальных с заряженными телами. Высота гауссова цилиндра обяза- тельно должна быть много меньше длины заряженных тел, так как вблизи торцов поле неоднородно;

3)заряженное тело имеет форму плоского слоя (предельный случай – очень тонкая пластина), причем толщина слоя много меньше линейных размеров, ограничивающих его плоскости. Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распреде- лены по объему так, что объемная плотность заряда ρ постоянна или является функци- ей только расстояния от середины слоя (плоскость симметрии). В этом случае в точках,

находящихся вблизи заряженного слоя и достаточно далеко от торцов слоя силовые линии – параллельные прямые – перпендикулярны слою. Гауссовы поверхности следу- ет брать в виде цилиндрических поверхностей, оси которых перпендикулярны заря- женному слою, а основания находятся на одинаковых расстояниях от плоскости сим- метрии, причем радиус этих оснований должен быть много меньше линейных размеров слоя.

Приведенными тремя видами симметрии практически ограничивается область применения теоремы Остроградского-Гаусса для расчета напряженности электростати- ческого поля. В некоторых случаях (например, система параллельных плоских заря- женных слоев) можно рассчитать напряженность поля, комбинируя теорему Гаусса

(расчет напряженности поля, созданного каждым слоем в отдельности) и принцип су- перпозиции.

Следует заметить, что расчет напряженности для случая 2 и 3 имеет приближенный характер вследствие указанных для этих видов симметрии ограничений. Этот результат

оказывается точным лишь в практически не реализуемых случаях бесконечно длинного цилиндрического слоя и бесконечно большого плоского слоя.

Применение теоремы Остроградского-Гаусса позволяет не только найти значение напряженности в данной точке поля, но и выражение для напряженности как функции координат в определенной области пространства, что позволяет рассчитать потенциал и

разность потенциалов по формулам интегральной связи ϕB = KòEdr и ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edl .

На границах проводника и диэлектрика векторы D и E терпят разрыв. На границах диэлектрика и диэлектрика вектор D (точнее, его составляющая, нормальная к эквипо- тенциальной поверхности) не изменяется; вектор E (точнее, его нормальная состав- ляющая) изменяется скачком. Потенциал является непрерывной функцией координат.

Задача 2.1. В однородном электрическом поле с напряженностью E = 0,01 В/м расположены: 1) прямоугольная рамка со сторонами a = 10 см, b = 20 см, плоскость которой составляет угол α = 30° с силовыми линиями поля; 2) полусфера ра- диуса R = 10 см, плоскость основания которой составляет угол β = 60° с силовыми ли- ниями поля. Определить поток вектора напряженности через обе поверхности.

Р е ш е н и е . Рассматривается заданное однородное поле. Согласно определению, поток N вектора Е через любую поверхность может быть рассчитан по формуле

N = òEdS .

(S )

В первом случае однородность поля (E = const) и

постоянство угла (EdS) = π2 -α во всех точках рас-

сматриваемой поверхности позволяют привести ука-

занную формулу к виду

Выразив все величины в СИ, получим

N = 1,0 · 10-4 В/м.

Рис. 2.1.